Capesext premiere composition de mathematiques 2003 capes maths capes de mathematiques

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Capes externe 2003, premi`ere ´epreuve page 1Notations et objets du probl`eme+On d´esigne parN l’ensemble des entiers naturels, parR le corps des nombres r´eels et parR l’ensembledes r´eels positifs ou nuls.kPour tout entier naturel n et tout entier k compris entre 0 et n, on note C le coefficient binomial d´efininpar :n!kC =n k!(n¡k)!avec la convention 0!=1.Si A, B sont deux ensembles, avec B inclus dans A, on note AnB l’ensemble :AnB =fx2Ajx2= Bg:On rappelle que si E est un espace vectoriel r´eel, une famille B =(e ) de vecteurs non nuls de E esti i2Kune base si pour tout vecteur x dans E il existe une unique famille de scalaires (x ) , ou` L est unej j2LPpartie finie de K, telle que x= x e .j jj2LSauf indication contraire, on d´esigne par a et b des r´eels tels que a < b et par I l’intervalle ferm´e born´e[a;b].On note C(I) l’espace vectoriel r´eel des fonctions d´efinies sur I `a valeurs r´eelles et continues.On note F l’espace vectoriel r´eel des d´efinies surR `a valeurs r´eelles p´eriodiques de p´eriode 2…et continues.Pour ´eviter les r´ep´etitions dans les d´efinitions qui suivent on d´esigne par H l’espace vectoriel C(I) ou Fet par J l’intervalle I dans le cas ou` H est l’espace C(I) ou l’intervalleR dans le cas ou` H est l’espaceF.Pour toute fonction f appartenant `a H on d´esigne par jfj la fonction d´efinie par :jfj: J !Rx7!jf(x)jL’espace H est muni de la norme de la convergence uniforme d´efinie par :8f 2H;kfk =supjf(x)j:1x2JOn munit ...

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Capesexterne2003,premiereepreuve

Notationsetobjetsduprobleme

page 1

+ OndesigneparNl’ensemble des entiers naturels, parRslteaprrbsereerocelmonsedspRl’ensemble desreelspositifsounuls. k Pour tout entier naturelnet tout entierkcompris entre0etn, on noteCldianeiomintbenciecole n par : n! k C= n k!(n−k)! avec la convention0! = 1. SiA,Bsont deux ensembles, avecBinclus dansA, on noteA\Bl’ensemble : A\B={x∈A|x∈/ B}. On rappelle que siEorctlriepaesveceenutsafimlleeleu,enB= (e i ) i∈K de vecteurs non nuls deEest une base si pour tout vecteurxdansEil existe une unique famille de scalaires(x j ) j∈L ,ouLest une P partie nie deK, telle quex=x j e j . j∈L Saufindicationcontraire,ondesigneparaetbleeletseuqssrdea < bet parIavlltnreli’eornmebefer [a, b]. On noteC(I)e’lrelritoecevacspcnitnodseedlseofureniessIselloctesrueeeravalinnts.ue On noteFniesdlessursedleernoitcnofevacsp’eelritoecRsrrlauesepeellavedoiioerqudideeserp2π et continues. PoureviterlesrepetitionsdanslesdenitionsquisuiventondesigneparHl’espace vectorielC(I)ouF et parJl’intervalleIsocaudalensHest l’espaceC(I)ou l’intervalleRudanslecasoHest l’espace F. Pour toute fonctionfppateartnanaHednngiseopar|f|ctioafonlap:rneidne |f|:J→R x7→ |f(x)| L’espaceHonmrdelecanoevgrenceuniformedepein:raaledinumtse ∀f∈ H,kfk= sup|f(x)|. ∞ x∈J On munit l’espaceHedlatilareordrond’leitrapeeeton≤ienetder:pa ∀(f, g)∈ H × H,(f≤g)⇔(∀x∈J, f(x)≤g(x)). On dit qu’une fonctionfnenatapaaptrHest positive et on note0≤f, si0≤f(t)pour touttdansJ. OndesigneparL(H)l’espace vectoriel des endomorphismes deHdeU.nleeemtnL(H)eleepstaussiap unoperateurlineairesurH. Onditqu’unoperateurlineaireusurHapvetisipoontincatnanetrap’ilttifsposiestetofteuoofmrarsn Hen une fonction positive. On noteR[x]l’espace vectoriel surRsleerstteC.noitlopssedcnofaielnymoenavdsu’leariabciencoe espace est muni de la base{e k |k∈N}par:denei k ∀k∈N,∀x∈R, e k (x) =x . On notePle sous-espace vectoriel deFt-es,s’celetnrsceiacoeuestriqomenogirtsemoˆnylopesedmorf a-diredesfonctionsdeRdansRde la forme : n X x7→a 0 + (a k cos (kx) +b k sin (kx)), k=1 ounest un entier naturel, le coecienta 0 et les coecientsa k ,b k pour tout entierkcompris entre1et nsnortele.s