Capesext premiere composition de mathematiques 2003 capes maths capes de mathematiques

Capes externe 2003, premi`ere ´epreuve page 1Notations et objets du probl`eme+On d´esigne parN l’ensemble des entiers naturels, parR le corps des nombres r´eels et parR l’ensembledes r´eels positifs ou nuls.kPour tout entier naturel n et tout entier k compris entre 0 et n, on note C le coefficient binomial d´efininpar :n!kC =n k!(n¡k)!avec la convention 0!=1.Si A, B sont deux ensembles, avec B inclus dans A, on note AnB l’ensemble :AnB =fx2Ajx2= Bg:On rappelle que si E est un espace vectoriel r´eel, une famille B =(e ) de vecteurs non nuls de E esti i2Kune base si pour tout vecteur x dans E il existe une unique famille de scalaires (x ) , ou` L est unej j2LPpartie finie de K, telle que x= x e .j jj2LSauf indication contraire, on d´esigne par a et b des r´eels tels que a < b et par I l’intervalle ferm´e born´e[a;b].On note C(I) l’espace vectoriel r´eel des fonctions d´efinies sur I `a valeurs r´eelles et continues.On note F l’espace vectoriel r´eel des d´efinies surR `a valeurs r´eelles p´eriodiques de p´eriode 2…et continues.Pour ´eviter les r´ep´etitions dans les d´efinitions qui suivent on d´esigne par H l’espace vectoriel C(I) ou Fet par J l’intervalle I dans le cas ou` H est l’espace C(I) ou l’intervalleR dans le cas ou` H est l’espaceF.Pour toute fonction f appartenant `a H on d´esigne par jfj la fonction d´efinie par :jfj: J !Rx7!jf(x)jL’espace H est muni de la norme de la convergence uniforme d´efinie par :8f 2H;kfk =supjf(x)j:1x2JOn munit ...