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Proble`me1
CAPES interne 2006
Notations Dansleprobl`eme,pourtoutefonctionhd´eetdeniavlbe´irnuniserulealrvteeualavI`snadsrR, on notehno´dreviasofcnit´ee. On note E l’ensemble des fonctionsfetvrlnissrunieueriv],d´[0;1allerusselbaetesntcod´nielintervalle[0;1[,`avaleursdansRltnarpseirpo´te´v´etieressuivantes: f(0) = 0 f(1) = 1 ′ ′′ fonnote[1etabiverd´0;r[suleetsffasiondonctv´ee´eri • ∀x[0 ;l[, f(x)>0 ′′ • ∀x[0 ;l[, f(x)>0. Pour toute fonctionfde E, on note : ˜ ˜ fnctionaslafoa`ee´icosfllvaerntirlsuiene´d,r]1ap[e;0f(x) =xf(x) ; Z Z 1 1 ˜ I(feern´ieel)dl´parI(f) = 2f(x) dx= 2[xf(x)] dx. 0 0 I(feGinide)e´leppatsdecidnief. On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo notonesurlintervalle]0;l[,ilenestdemˆemesurlintervalle[0;1].
´ Partie Iqleu´seudutEqedeeEsd´eelntme
1. Soitfelleer´edeuqire´lbairaveonaflumnnioctxitnuslrll[ereav1]0;r:panied´e   3 2 x x f(x) =λ+ +xu`oλuqetselenombrer´eeltelf(1) = 1. 3 2 1.1.Pre´ciserlavaleurdeλ. 1.2.D´emontrerquefeE.entd´lmenue´ets 1.3.D´emontrerquepourtoutxntna[0`appatear1;:]xf(x)>0. 1.4. Dresserle tableau de variation def.esarelvsnOrpe´icteacrispeualexrspsesrafen 0 et 1. 1.5.Tracerlacourberepr´esentativedefnoroamdluin´teunnmlaepslandhtroere`pernudi graphique 10 cm. 1.6.ppAacilnoitoce´minoequ Onpeutconside´rerquelafonctionfrend compte de la concentration des richesses des habitantsdunpaysdonne´.Parexemple,f(0,3)0,19signifie que30% des habitants (lespluspauvres)posse`dentenviron19% des richesses du pays. Dans ces conditions, l’indice de Gini donne une indication sur la concentration des richesses dans ce pays. CalculerlindicedeGinipourlepaysconsid´er´e.Endonneruneinterpre´tationgraphique. 2. Soitnun entier naturel strictement positif etfneledarav´eumquriellelbaie´renotcoinnlfa n xuslrneireavitn0;1]lel´ed[par:fn(x) =x. 2.1.De´montrerquefne´emtned.Eeln´tues 2.2. CalculerI(fn). 2.3.De´montrerquelasuite(I(fn)).eetimilasresice´rtpeentgeernvcost nN3. Soitnetemrtcierslanuttierunenturie1e`asunterp´gnlbeelavaria´eriquedoitcmunnlnofa re´ellexde´npa1]0;e[r:ilruseillavretn 1 n gn(x) = 1(1x).