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CCMP 2003 mathematiques i classe prepa pc

5 pages
A 2003 Math PC 1´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´PREMIERE EPREUVEFili`ere PC(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a` la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 1-Fili`ere PC.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.L’objetdeceprobl`eme est d’introduire suivant une m´ethode originale la fonc-tion Γ et de d´eterminer, a` l’aide de cette fonction, une expression de l’int´egraleI suivante :π/2I = ln (ln (tanx)) dx.π/4Premi`ere partieIl est admis que, si la fonction r´eelle f, d´ efinie sur un intervalle I de ladroite r´eelleR, est convexe, pour toute suite croissante de trois r´eels x , x , x ,1 2 3(x
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A 2003 Math PC 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePC (Dur´eedele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePC. Cet´enonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur de´nonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Lobjetdeceprobl`emeestdintroduiresuivantunem´ethodeoriginalelafonc-tionΓetdede´terminer,a`laidedecettefonction,uneexpressiondelint´egrale Isuivante : π/2 I(ln (tan= lnx))dx. π/4
Premi`erepartie
Ilestadmisque,silafonctionre´ellef,alrvleunurtein´deinseIde la droitere´elleR,pouvexetcon,esorsiticeetustruoeer´isroetedntsaslx1,x2,x3, (x1< x2< x3a)ppraetantn`alintervalleI, les valeurs prises par cette fonction encespointsve´rientlarelationsuivante:
f(x2)f(x1)f(x3)f(x1)f(x3)f(x2) ≤ ≤. x2x1x3x1x3x2
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