CCMP 2003 mathematiques i classe prepa pc

A 2003 Math PC 1´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´PREMIERE EPREUVEFili`ere PC(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a` la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT,TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 1-Fili`ere PC.Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.L’objetdeceprobl`eme est d’introduire suivant une m´ethode originale la fonc-tion Γ et de d´eterminer, a` l’aide de cette fonction, une expression de l’int´egraleI suivante :π/2I = ln (ln (tanx)) dx.π/4Premi`ere partieIl est admis que, si la fonction r´eelle f, d´ efinie sur un intervalle I de ladroite r´eelleR, est convexe, pour toute suite croissante de trois r´eels x , x , x ,1 2 3(x <x <x ) appartenant a` l’intervalle I, les valeurs prises par cette fonction1 2 3en ces points v´erifient la relation ...