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A 2003 Math PSI 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI. Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.
Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamen´ea`prendre.
Premi`erepartie
SoitMtioS.3eseacrre´sedrordesmatricesr´eellapseevecrotcdleilCle produitcarte´sienM×M. Ilest admis que cet ensemble est un espace vectoriel re´el`alaidedelaloiinterne,addition,etdelaloiexterne,multiplicationpar unr´eel,d´eniesparlesrelationssuivantes: Lasommededeux´ele´mentsdeC, (P, Q) et (R, Sntme´eel´tles)(P+R, Q+S) :
(P, Q) + (R, S) = (P+R, Q+S). Leproduitdunr´eelλeledtle´eme´(ntP, Q(tm)eenelstl´´eλP, λQ) deC˜:
λ(P, Q) = (λP, λQ). En plus de ces lois de composion, soitla loi de composition interne, ap-pel´eeproduit,qui,auxdeuxe´l´ementsdeC, (P, Q) et (R, S) fait correspondre
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