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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. NB. :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les cinq parties du problème sont indépendantes αdésignant un réel non nul, on notefαla fonction définie surRparfα(x) = cos(αx). PARTIE I 1. Montrerquon peut se limiter àα>0 (ce quon fera dans toute la suite du problème). 2. Vérifierquefαest périodique ; on noteraTαune période strictement positive. 3. Dequelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène,fαest-elle solution ? Résoudre cette équation différentielle. 4. Onnote respectivement E et d la partie entière et la partie décimale deα. Cest-à-direα= E + d, avec E entier naturel et 0d<1. Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,π] defα(x) = 0. PARTIE II On posefα,β= fα+ fβ,αetβsont des réels strictement positifs distincts. 1. Montrerquefα,βest périodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p tels que : kα= pβ(on pourra envisager x = 0). On noteraTα,βune période defα,β.2. RelieralorsTα,βàTαetTβ.3.αetβétant à nouveau quelconques (mais toujours réels strictement positifs distincts), montrer 2 22 '' la relation :fα,β+αfα,β= (α-β) fβ. (4) 22 22 4. Endéduire quefα,βest solution de léquation (E) : y+ (α+β)y''+α βy = 0. '' 5. Vérifierquefαest solution de (E). En déduire quefβ,fα,également solutions de (E).f sont β