CCP 2003 mathematiques 1 classe prepa tsi

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les cinq parties du problŁme sont indØpendantes α dØsignant un rØel non nul, on note f la fonction dØfinie sur R par f (x) = cos(αx). α α PARTIE I 1. Montrer qu on peut se limiter α > 0 (ce qu on fera dans toute la suite du problŁme). 2. VØrifier que f est pØriodique ; on notera T une pØriode strictement positive. α α 3. De quelle Øquation diffØrentielle linØaire, du second ordre, coefficients rØels constants, homogŁne, f est-elle solution ? RØsoudre cette Øquation diffØrentielle. α 4. On note respectivement E et d la partie entiŁre et la partie dØcimale de α. C est- -dire α = E + d, avec E entier naturel et 0 ≤ d < 1. DØterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,π] de f (x) = 0. α PARTIE II On pose f = f + f , oø α et β sont des rØels strictement positifs distincts. α,β α β 1. Montrer que f est pØriodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p α,βtels que : kα = pβ (on pourra envisager x = 0). On notera T ...