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CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa mp

4 pages
SESSION 2004CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MPMATHEMATIQUES 1Duree : 4 heuresLes calculatrices sont interdites.* * *NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concisionde la redaction.Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,illesignalerasur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aete amene a prendre.1A propos de l’hypothese«de classeC par morceaux» du theoreme de conver-gence normale d’une serie de Fourier ...Pourtoutefonctionf :R→R,continueparmorceauxetdeperiode2,onassociesescoe cientsZ21 intde Fourier exponentiels de nis, pour n∈Z, par c (f) = f(t)e dt et ses coe cientsn2 0de Fourier trigonometriques denis par :Z Z2 21 1a (f) = f(t)cos(nt) dt (pour n∈N) et b (f) = f(t)sin(nt) dt (pour n∈N ).n n 0 0On pose, pour tout entier naturel p et tout reel x :p pP Pa0inxS (f)(x) = c (f)e = + (a (f)cos(nx)+b (f)sin(nx)).p n n n2n= p n=1On rappelle le theoreme de convergence normale :1Si f :R→R est une fonction continue de periode 2 et de classe C par morceaux, la serie deFourier de f converge normalement vers la fonction f surR.Ainsi, la fonction f est limite uniforme de la suite de polynomˆ es trigonometriques (S (f)) .p p∈NNous allons etudier ce qui peut se produire si on enleve a ce theoreme l’hypothese « de classe1C par morceaux».Une ...
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SESSION 2004
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
´ MATHEMATIQUES 1
Dur´ee:4heures
Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,illesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´ete´amene´`aprendre. 1 ` Aproposdelhypoth`ese«de classeCpar morceaux»`eor´ethdure-ocvnemed gencenormaledunes´eriedeFourier... Pour toute fonctionf:RRon,carepnutixuaecromre´pedteiode2π, on associe ses coefficients Z 2π 1 int deFourierexponentielsd´enis,pournZ, parcn(f) =f(t)edtet ses coefficients 2π 0 deFouriertrigonome´triquesde´nispar: Z Z 2π2π 1 1 an(f) =f(t) cos (nt) dt(pournN) etbn(f) =f(t) sin (nt) dt(pournN). π π 0 0 On pose, pour tout entier naturelplte´reeottux: p p PaP 0 inx Sp(f)(x) =cn(f)e(= +an(f) cos (nx) +bn(f) sin (nx)). 2 n=p n=1 On rappelle lergveonecedemr`eo´htlaeonmrneec: 1 Sif:RRctioefonstunee2odpedeire´nocnunitπet de classeC´eriedeaexul,sapraomcr Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsurR. Ainsi, la fonctionflasumedeiforteunemtsnyoˆpelotideesqurietm´nogoritseimil(Sp(f)) . pN Nousallons´etudiercequipeutseproduiresionenl`eve`acethe´ore`melhypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux». Unepremie`repartied´emontredesr´esultatspre´liminaires. 1 Unedeuxie`mepartietraitedunexempleou`,sanslhypothe`se«de classeCpar morceaux», las´eriedeFourierpeutdiverger. Unetroisie`mepartierechercheuneconditionplusfaiblepourque,sanslhypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux»reiaesrsemFˆoeumrqiueedlausr´eerpniuo,audnesdsqefconverge uni-forme´mentverslafonctionfsurR. I.R´esultatspr´eliminaires 1.me`ecodethleor´eroneelamrevncnegS,iadsnseusicd-uspp,snouelaoseqtionfoncf n’est pas continue mais seulement continue par morceaux surR:
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