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SESSION 2004
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
´ MATHEMATIQUES 1
Dur´ee:4heures
Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcision delare´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,illesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´ete´amene´`aprendre. 1 ` Aproposdelhypoth`ese«de classeCpar morceaux»`eor´ethdure-ocvnemed gencenormaledunes´eriedeFourier... Pour toute fonctionf:RRon,carepnutixuaecromre´pedteiode2π, on associe ses coefficients Z 2π 1 int deFourierexponentielsd´enis,pournZ, parcn(f) =f(t)edtet ses coefficients 2π 0 deFouriertrigonome´triquesde´nispar: Z Z 2π2π 1 1 an(f) =f(t) cos (nt) dt(pournN) etbn(f) =f(t) sin (nt) dt(pournN). π π 0 0 On pose, pour tout entier naturelplte´reeottux: p p PaP 0 inx Sp(f)(x) =cn(f)e(= +an(f) cos (nx) +bn(f) sin (nx)). 2 n=p n=1 On rappelle lergveonecedemr`eo´htlaeonmrneec: 1 Sif:RRctioefonstunee2odpedeire´nocnunitπet de classeC´eriedeaexul,sapraomcr Fourier defconverge normalement vers la fonctionfsurR. Ainsi, la fonctionflasumedeiforteunemtsnyoˆpelotideesqurietm´nogoritseimil(Sp(f)) . pN Nousallons´etudiercequipeutseproduiresionenl`eve`acethe´ore`melhypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux». Unepremie`repartied´emontredesr´esultatspre´liminaires. 1 Unedeuxie`mepartietraitedunexempleou`,sanslhypothe`se«de classeCpar morceaux», las´eriedeFourierpeutdiverger. Unetroisie`mepartierechercheuneconditionplusfaiblepourque,sanslhypoth`ese«de classe 1 Cpar morceaux»reiaesrsemFˆoeumrqiueedlausr´eerpniuo,audnesdsqefconverge uni-forme´mentverslafonctionfsurR. I.R´esultatspr´eliminaires 1.me`ecodethleor´eroneelamrevncnegS,iadsnseusicd-uspp,snouelaoseqtionfoncf n’est pas continue mais seulement continue par morceaux surR:
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