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SESSION 2004
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
´ MATHEMATIQUES 2
Dur´ee:4heures
Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcisiondela re´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,illesignalerasur sacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´ete´amene´ `aprendre. Fonctions de matrices Notations : 1. LesR:ssteanivsuesbr`egla-exteecetursdaucoe´se´drenoisnoct Ialg`LebreMn(Reer´es´eordesllerdamrtd)seacrrcisen. ISiIest un intervalle deRnoonte,din´treeiruonvndi,eCal`selgcerbummoitatedev I fonctions de classeCdeIdansR. Itcnofsederbe`glaesalminolyponsioedLIdansRerbela``glaseutusleenti´eelementidR[X]. 2. Ony rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants : Ienrslonoel`se´leLesdescpaceanliesgnt´noeMn,1(R). IL’espaceRN[X] ={PR[X]|degP6N},`ouNN. 3. Lesnotions de convergence dansMn,1(R) etMn(R) sont relatives aux normes respectives : t IkXk= max|xk|, siX= [x1, . . ., xn]. 16k6n IkMk=nmax|mi,j|, siM= [mi,j]16i6n. 16i,j6n 16j6n
Objectifsduprobl`eme LorsquePR[X] etAMn(Rnerutdonnsai),oirecmata`slasnneP(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surAucitreilis,qiuenr´esulte.EnparMest une matrice deMn(R), on appelle polynˆomeminimaldeMemoˆnyloeriatinulepPsbluepdl´qetgerdeuaesP(Mtaimitsde´m=0)le;i n (etonladmettra)quilsagitdupolynˆomeminimaldelendomorphismeudeRdontMest la matrice n dans la base canonique deR. Dansunpremiertemps,cetexteproposededonnerunsens`alamatricef(A)pour toute fonction fde classeChypotdessescth`eecal,tennnaomeyrlamessunablonveectairA. Autrementdit,onapprend`amaıˆtriseruncertaincalculfonctionnelsurA. Dansunsecondtemps,onexploitecesre´sultatspourr´esoudreunsyst`emedi´erentielline´aire.
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