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CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa mp

4 pages
SESSION 2004CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MPMATHEMATIQUES 2Duree : 4 heuresLes calculatrices sont interdites.* * *NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de laredaction.Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’enonce, il le signalera sursa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amenea prendre.Fonctions de matricesNotations :1. LesR-algebres suivantes sont considerees au cours de ce texte :I L’algebre M (R) des matrices carrees reelles d’ordre n.n∞I Si I est un intervalle de R, d’interieur non vide, on note C l’algebre commutative desI∞fonctions de classe C de I dansR.I L’algebre des fonctions polynomiales de I dansR est usuellement identi ee a l’algebre R[X].2. On y rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants :I L’espace des colonnes reelles a n lignes note M (R).n,1I L’espaceR [X] ={P ∈R[X]| degP6N}, ou N ∈N.N3. Les notions de convergence dans M (R) et M (R) sont relatives aux normes respectives :n,1 ntI kXk = max |x |, si X = [x ,...,x ].k 1 n∞16k6nI kMk =n max |m |, si M = [m ] .16i6ni,j i,j16i,j6n 16j6nObjectifs du problemeLorsque P ∈R[X] et A ∈ M (R), on sait donner un sens a la matrice P(A) et l’on maˆ trise bien lencalcul polynomial sur A qui en resulte. En particulier, si M est une matrice de M (R), on ...
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SESSION 2004
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
´ MATHEMATIQUES 2
Dur´ee:4heures
Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcisiondela re´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonce´,illesignalerasur sacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´ete´amene´ `aprendre. Fonctions de matrices Notations : 1. LesR:ssteanivsuesbr`egla-exteecetursdaucoe´se´drenoisnoct Ialg`LebreMn(Reer´es´eordesllerdamrtd)seacrrcisen. ISiIest un intervalle deRnoonte,din´treeiruonvndi,eCal`selgcerbummoitatedev I fonctions de classeCdeIdansR. Itcnofsederbe`glaesalminolyponsioedLIdansRerbela``glaseutusleenti´eelementidR[X]. 2. Ony rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants : Ienrslonoel`se´leLesdescpaceanliesgnt´noeMn,1(R). IL’espaceRN[X] ={PR[X]|degP6N},`ouNN. 3. Lesnotions de convergence dansMn,1(R) etMn(R) sont relatives aux normes respectives : t IkXk= max|xk|, siX= [x1, . . ., xn]. 16k6n IkMk=nmax|mi,j|, siM= [mi,j]16i6n. 16i,j6n 16j6n
Objectifsduprobl`eme LorsquePR[X] etAMn(Rnerutdonnsai),oirecmata`slasnneP(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surAucitreilis,qiuenr´esulte.EnparMest une matrice deMn(R), on appelle polynˆomeminimaldeMemoˆnyloeriatinulepPsbluepdl´qetgerdeuaesP(Mtaimitsde´m=0)le;i n (etonladmettra)quilsagitdupolynˆomeminimaldelendomorphismeudeRdontMest la matrice n dans la base canonique deR. Dansunpremiertemps,cetexteproposededonnerunsens`alamatricef(A)pour toute fonction fde classeChypotdessescth`eecal,tennnaomeyrlamessunablonveectairA. Autrementdit,onapprend`amaıˆtriseruncertaincalculfonctionnelsurA. Dansunsecondtemps,onexploitecesre´sultatspourr´esoudreunsyst`emedi´erentielline´aire.
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