CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa mp

SESSION 2004CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MPMATHEMATIQUES 2Duree : 4 heuresLes calculatrices sont interdites.* * *NB : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de laredaction.Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’enonce, il le signalera sursa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amenea prendre.Fonctions de matricesNotations :1. LesR-algebres suivantes sont considerees au cours de ce texte :I L’algebre M (R) des matrices carrees reelles d’ordre n.n∞I Si I est un intervalle de R, d’interieur non vide, on note C l’algebre commutative desI∞fonctions de classe C de I dansR.I L’algebre des fonctions polynomiales de I dansR est usuellement identi ee a l’algebre R[X].2. On y rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants :I L’espace des colonnes reelles a n lignes note M (R).n,1I L’espaceR [X] ={P ∈R[X]| degP6N}, ou N ∈N.N3. Les notions de convergence dans M (R) et M (R) sont relatives aux normes respectives :n,1 ntI kXk = max |x |, si X = [x ,...,x ].k 1 n∞16k6nI kMk =n max |m |, si M = [m ] .16i6ni,j i,j16i,j6n 16j6nObjectifs du problemeLorsque P ∈R[X] et A ∈ M (R), on sait donner un sens a la matrice P(A) et l’on maˆ trise bien lencalcul polynomial sur A qui en resulte. En particulier, si M est une matrice de M (R), on ...