CCP 2005 mathematiques 1 classe prepa psi

Description

calculatrices autorise¶esNotations et objectifs.On note :² N: l'ensemble des nombres entiers naturels,² R: l'ensemble des nombres r¶eels,² C: l'ensemble des nombres complexes,0² C : le R-espace vectoriel des fonctions continues de R dans R,0 0² C : le sous espace vectoriel de C des fonctions f 1-p¶eriodiques (c'est µa dire des fonctions telles que f(x+1) = f(x), pou1tout x 2 R).0 0Dans tout ce probleµme, on de¶signe par µ l'application de C dans C , d¶e¯nie par :R x+10pour tout f 2 C , µ(f) = F ouµ F est la fonction de R dans R qui µa x associe f(t) dt.x0On admet que µ est un endomorphisme de C .L'objet de ce problµeme est l'e¶tude de quelques propri¶ete¶s de la fonction F et de l'endomorphisme µ.Partie IQuelques proprie¶t¶es de F =µ(f)I.1. Exemples.I.1.1. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = 1.k ¤I.1.2. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = t (ouµ k est ¯x¶e dans N ).I.2. Variations de F = µ(f).0On d¶esigne maintenant par f une fonction arbitraire de C .1 0I.2.1. Montrer que la fonction F est de classe C sur R. Expliciter F (x) en fonction de f et de x.I.2.2. Montrer que si la fonction f est croissante (respectivement de¶croissante) sur un intervalle J = [x ;+1[, alors lx0 0fonction F est croissante (respectivement d¶ecroissante) sur J .x00I.2.3. Montrer que la fonction F = µ(f) est constante sur R si et seulement si f appartient aµ C .1I.2.4. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = jsin(¼t)j.0On suppose de ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 360
• Langue: Français

Extrait

Notations et objectifs. On note :

calculatricesautoris´ees

: l’ensemble desnombres entiers naturels, N  :l’ensembledesnombresre´els, R  : l’ensemble desnombres complexes, C  0 : leespace vectoriel des fonctions continues dedans , R RR  C 0 0 : le sousespace vectoriel dedes fonctionsfridasedecnofnoitodriueiqc’s(t`ess´teelple1squef(x=+ 1)f(x), po  CC 1 toutx). R ∈ 0 0 Danstoutceproble`me,onde´signeparapei:radsnede´nd,’appltionlica 0 C C x+1 pour toutf,(f) =F`uoF`adans quiest la fonction dexassocief(t)dt. R R x ∈ C 0 C R On admet queest un endomorphisme de. L’objetdeceprobl`emeestl’´etudedequelquesproprie´te´sdelafonctionFet de l’endomorphisme.

I.1.Exemples.

Partie I Quelquespropri´ete´sdeF=(f)

I.1.1. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) = 1. R k I.1.2. ExpliciterF(x), sifrapre´neiustdesf(t) =t(o`ukestx´esnad ∗ ). R N I.2.Variations deF=(f). 0 On d´esigne maintenant parf.une fonction arbitraire de C 1 I.2.1. Montrerque la fonctionFest de classesur .ExpliciterF 0 (x) en fonction defet dex. R C I.2.2. Montrerque si la fonctionfcroitd´eemenctivseepetr(ssnarciostealrvlenuruetninasss)etJ x = [x 0 ,alors+ [, ∞ 0 fonctionFest croissante (respectivement d´ecroissante) surJ x . 0 0 I.2.3. Montrerque la fonctionF=(f) est constante sursi et seulement sifat`entiarppa. R C 1 I.2.4. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) =sin(πt) . R | | 0 On suppose denouveau quefnguee´iscnitenofbitronardeaire.d C I.2.5. Onsuppose que la fonctionfadmet une limiteL 1 .en + ∞ Montrer que la fonctionFadmet une limiteL 2 .(que l’on explicitera) en + ∞ I.3.Propri´et´es du graphe deF. 0 SoientfetF=(f). ∈ C u+ 1 1 2 Onconside`relafonctionψdn´esuieraprψ(u) =F u= 1 f(t)dt. R 2 u − ¡ ¢ R 2 − I.3.1. Comparerψ(u) etψ(u), si la fonctionfest impaire (respectivement paire). − I.3.2.Quelleproprie´te´ge´ome´triquedelarepre´sentationgraphiquedelafonctionFesr´taulirduesedbostnettuodne´ep enI.3.1, si la fonctionfest impaire (respectivement paire) ?

I.4.Etude d’un exemple. 2 k t + e − Soitf(t) = ∞ 2 , pourtlee´.r k=1k+ 1 I.4.1. Montrer P que la fonctionfruseunintcoetien´etdesR. 1 1 I.4.2. Montrerque la fonctionfsur .Estellede classeest de classeCsur ? ∗ R R C I.4.3. Lafonctionfoui, laquelle ?? Siadmetelle une limite en + ∞ I.4.4.Indiquerl’alluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionfron(chnecherrepasaa`rpe´icesf(0)). I.4.5. Lafonctionfestelle int´egrable sur? R I.4.6. SoitF=(f). I.4.6.1.Indiquerl’alluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionF. I.4.6.2. LafonctionFesur?t´egrabltleelnise R + (on pourra comparerF(x) etf(x) pourx).`atpanenaaptr R