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Notations et objectifs.On note :
calculatricesautoris´ees
: l’ensemble desnombres entiers naturels, N :lensembledesnombresre´els, R : l’ensemble desnombres complexes, C 0 : leespace vectoriel des fonctions continues dedans , R RR  C 0 0 : le sousespace vectoriel dedes fonctionsfridasedecnofnoitodriueiqcs(t`ess´teelple1squef(x=+ 1)f(x), po  CC 1 toutx). R 0 0 Danstoutceproble`me,onde´signeparapei:radsnede´nd,appltionlica 0C Cx+1 pour toutf,(f) =F`uoF`adans quiest la fonction dexassocief(t)dt. R Rx ∈ C0 CR On admet queest un endomorphisme de. Lobjetdeceprobl`emeestl´etudedequelquesproprie´te´sdelafonctionFet de l’endomorphisme.
I.1.Exemples.
Partie I Quelquespropri´ete´sdeF=(f)
I.1.1. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) = 1. R k I.1.2. ExpliciterF(x), sifrapre´neiustdesf(t) =t(o`ukestx´esnad). R N I.2.Variations deF=(f). 0 On d´esigne maintenant parf.une fonction arbitraire de C 1 I.2.1. Montrerque la fonctionFest de classesur .ExpliciterF0(x) en fonction defet dex. R C I.2.2. Montrerque si la fonctionfcroitd´eemenctivseepetr(ssnarciostealrvlenuruetninasss)etJx= [x0,alors+ [, 0 fonctionFest croissante (respectivement d´ecroissante) surJx. 0 0 I.2.3. Montrerque la fonctionF=(f) est constante sursi et seulement sifat`entiarppa. R C 1 I.2.4. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) =sin(πt) . R | | 0 On suppose denouveau quefnguee´iscnitenofbitronardeaire.d C I.2.5. Onsuppose que la fonctionfadmet une limiteL1.en + Montrer que la fonctionFadmet une limiteL2.(que l’on explicitera) en + I.3.Propri´et´es du graphe deF. 0 SoientfetF=(f). ∈ Cu+ 1 12 Onconside`relafonctionψdn´esuieraprψ(u) =F u=1f(t)dt. R2u ¡ ¢R 2 I.3.1. Comparerψ(u) etψ(u), si la fonctionfest impaire (respectivement paire). I.3.2.Quelleproprie´te´ge´ome´triquedelarepre´sentationgraphiquedelafonctionFesr´taulirduesedbostnettuodne´ep enI.3.1, si la fonctionfest impaire (respectivement paire) ?
I.4.Etude d’un exemple. 2 k t +eSoitf(t) =2, pourtlee´.r k=1k+ 1 I.4.1. MontrerPque la fonctionfruseunintcoetien´etdesR. 1 1 I.4.2. Montrerque la fonctionfsur .Estellede classeest de classeCsur ? R R C I.4.3. Lafonctionfoui, laquelle ?? Siadmetelle une limite en + I.4.4.Indiquerlalluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionfron(chnecherrepasaa`rpe´icesf(0)). I.4.5. Lafonctionfestelle int´egrable sur? R I.4.6. SoitF=(f). I.4.6.1.Indiquerlalluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionF. I.4.6.2. LafonctionFesur?t´egrabltleelnise R + (on pourra comparerF(x) etf(x) pourx).`atpanenaaptr R
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