CCP 2005 mathematiques 1 classe prepa psi

calculatrices autorise¶esNotations et objectifs.On note :² N: l'ensemble des nombres entiers naturels,² R: l'ensemble des nombres r¶eels,² C: l'ensemble des nombres complexes,0² C : le R-espace vectoriel des fonctions continues de R dans R,0 0² C : le sous espace vectoriel de C des fonctions f 1-p¶eriodiques (c'est µa dire des fonctions telles que f(x+1) = f(x), pou1tout x 2 R).0 0Dans tout ce probleµme, on de¶signe par µ l'application de C dans C , d¶e¯nie par :R x+10pour tout f 2 C , µ(f) = F ouµ F est la fonction de R dans R qui µa x associe f(t) dt.x0On admet que µ est un endomorphisme de C .L'objet de ce problµeme est l'e¶tude de quelques propri¶ete¶s de la fonction F et de l'endomorphisme µ.Partie IQuelques proprie¶t¶es de F =µ(f)I.1. Exemples.I.1.1. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = 1.k ¤I.1.2. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = t (ouµ k est ¯x¶e dans N ).I.2. Variations de F = µ(f).0On d¶esigne maintenant par f une fonction arbitraire de C .1 0I.2.1. Montrer que la fonction F est de classe C sur R. Expliciter F (x) en fonction de f et de x.I.2.2. Montrer que si la fonction f est croissante (respectivement de¶croissante) sur un intervalle J = [x ;+1[, alors lx0 0fonction F est croissante (respectivement d¶ecroissante) sur J .x00I.2.3. Montrer que la fonction F = µ(f) est constante sur R si et seulement si f appartient aµ C .1I.2.4. Expliciter F(x), si f est d¶e¯nie sur R par f(t) = jsin(¼t)j.0On suppose de ...