CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa pc

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• Publié par: aiolos
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MATHÉMATIQUES II Filière PC MATHÉMATIQUES II 2Dans tout le problème, P désigne le plan affine euclidien IR muni de son pro- duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique ()O ; i, j de son orientation canonique et de son repère polaire canonique. On appellera conique toute partie C (vide ou non) de P ayant une équation de la forme 2 2 {}M ∈ C ⇔{}AX++BXY CY+DX+EY+F =0()XY, Aoù ABCDEF, , , , , sont six réels, avec en outre , B , C non tous nuls. 6 AÀ tout (, , , , , ), élément de IR tel que , BC, non tous nuls cor- respond ainsi une conique C , que l’on pourra noter C .()AB,,CDEF,,, Le but du problème est notamment l’étude de l’ensemble des points communs à certains ensembles de coniques. Partie I - Préliminaires I.1) Montrer que les fonctions θ a cos2 θ ; θ a sin2 θ ; θθa cos ;θθa sin ; θ a 1 de IR vers IR forment une famille libre dans l’espace des fonctions numé- riques définies sur IR . I.2) Soit un cercle quelconque du plan P , que l’on supposera de rayon ρ > 0 . Montrer que si le cercle est inclus dans la conique C , alors AC=()AB,,CDEF,,, et B = 0 . Réciproquement, que peut-on dire d’une conique C ?A,,0 ADEF,,, Concours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière PC Filière PC Partie II - On note P ′ = P\{}Oy le plan PM privé de l’axe des ordonnées. On note un0 point de coordonnées ()X , Y appartenant à P ′ .0 0 Soit E l’ensemble des coniques C satisfaisant aux quatre1 ()AB,,CDEF,,, conditions : ⎧ ⎧E = 0M ∈ C0⎨ ⎨ F = 0⎩ ⎩AC= II.A - II.A.1) Montrer que le seul élément, noté ()C , de E qui soit un cercle a pour1 1 2 2 2 2équation .x()X + Y –()x + y X = 00 0 0 Montrer que C est tangent à l’axe Oy et indiquer une construction géomé-1 trique de son centre. II.A.2) Montrer qu’il existe un seul élément, noté ()C , de E qui ait une2 1 équation de la forme BXY+0CX = . En indiquer une caractérisation géométri- que. II.A.3) Déterminer ()C ∩()C . En discuter le nombre d’éléments. En1 2 déduire l’ensemble des points communs à tous les éléments de E .1 II.B - On appelle ϕ l’application de P ′ dans PM qui, au point de coordonnées polaires ()ρθ, , tel que ρ ≠ 0 et que pour tout entier relatif k, θ ≠()2k + 1 π ⁄ 2, π⎛⎞associe M ′ de coordonnées polaires ρθtan , – θ .---⎝⎠2 II.B.1) Montrer que cette définition de ϕ()M est cohérente, c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas du choix de ()ρθ, parmi les coordonnées polaires possibles du point M . Montrer que ϕ()M appartient à toutes les coniques de E . En déduire10 une construction géométrique de ϕ()M à l’aide d’un cercle et d’une droite.0 Concours Centrale-Supélec 2004 2/7MATHÉMATIQUES II Filière PC II.B.2) Pour MP∈ ′ , quand a-t-on ϕ()M ∈ P ′ ? Que dire alors de ϕϕo ()M ? II.B.3) On appelle γ la courbe d’équation polaire π π θ ∈ ] – ; [ a ρ = 2asin θ , où a > 0 est donné.--- --- 2 2 Reconnaître γ ; déterminer une représentation polaire de la courbe γ' = ϕγ() ; étudier et tracer cette courbe, avec justifications. II.C - Dans cette question, M()x , y est un point de P ′ tel que x ≠ y et on lui0 0 0 0 0 associe M′ϕ= ()M comme ci-dessus.0 0 II.C.1) a) Montrer que, quel que soit le couple λ, µ de réels non tous nuls, il existe un unique réel ν, que l’on calculera, tel que la conique ()C d’équationλ, µ 2 2 λ()X + Y++2µXY νX =0 appartienne à E .1 b) Lorsque λ ≠ µ , montrer que ()C a un centre Ω dont on détermineraλ, µ λ, µ les coordonnées. [Pour ce faire, il est possible d’effectuer une translation arbi- traire de l’origine du repère puis de faire en sorte que la nouvelle origine devienne centre de symétrie de la conique ()C .]λ, µ II.C.2) Le point M restant fixé, montrer que tous les points Ω (où λ ≠ µ )0 λ, µ appartiennent à la conique Γ d’équation 2 2 x + y2 2 0 0X–0Y – X + y Y = .------------------ 02x0 En déterminer le genre, le centre, les sommets et les axes. II.C.3) Déterminer les intersections de Γ avec les droites Ox , Oy , OM , OM ′0 0 et M M ′ . On trouvera en général six points en tout, pour lesquels le centre de0 0 Γ joue un rôle particulier que l’on mettra en évidence. II.C.4) Faire une figure d’ensemble. II.C.5) Étudier et représenter ()C et ()C . On réalisera la figure en pre-11, 11, – nant x = 2 , y = 1 . Que remarque-t-on quant à leurs axes ?0 0 On identifiera pour la suite du problème les espaces vectoriels euclidiens 2 canoniques IRet CI. On désignera par i le complexe de module 1 et d’argument π ⁄ 2 . Concours Centrale-Supélec 2004 3/7MATHÉMATIQUES II Filière PC Partie III - On admet que le déterminant de Vandermonde 2 3 1 z z z1 1 1 2 3 1 z z z2 2 2Vz(),,,z z z =1 2 3 4 2 3 1 z z z3 3 3 2 3 1 z z z4 4 4 en les complexes z , z , z , z est nul si, et seulement si, deux au moins des z1 2 3 4 i sont égaux. Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la pre- mière, mais par une méthode sensiblement différente. 2III.A - On s’intéresse à l’ensemble E des parties de IR ayant une équation de2 2 2la forme Azz+B()z + z +++Cz Cz D =0 où les réels ABD, , et le complexe C ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points M , M , M non1 2 3 alignés donnés, d’affixes respectifs , z ,z .z1 2 3 III.A.1) Vérifier que les éléments E sont bien des coniques et donner une pro-2 priété commune de leurs axes. III.A.2) Pour z donné dans CI , on définit les matrices4 ⎛⎞2 2 ⎜⎟z z z + z z z 11 1 1 1 1 1 ⎛⎞z z 12 2 1 1 ⎜⎟z z z + z z z 12 2 2 2 2 2˜ M = et M = z z 12 2 2 2z z z + z z z 13 3 3 3 3 3 z z 1 ⎝⎠3 3 2 2 z z z + z z z 1⎝⎠4 4 4 4 4 4 ˜a) Établir que la matrice M est inversible. Quelle conclusion peut-on en tirer quant au rang de M ? b) On définit le IR -espace vectoriel E = IR × IR ×CII ×R . En donner la dimension. Montrer que ⎧⎫22 SA=(),,BC,D∈Ei, ∀ ∈{}123,, , Az z+Bz()+ z +++Cz Cz D = 0⎨⎬i i i i i i ⎩⎭ est un sous-espace vectoriel de E et en donner la dimension. Concours Centrale-Supélec 2004 4/7MATHÉMATIQUES II Filière PC c) Montrer que le point M d’affixe z appartient à toutes les coniques éléments4 4 de E si, et seulement si, le rang de M est égal à 3 . [Pour la condition néces-2 saire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi.] III.B - On suppose dans cette question que les complexes z , z , z sont égaux1 2 3 respectivement à aexp()i θ , aexp()i θ et aexp()i θ , où a > 0 et θ , θ , θ sont des1 2 3 1 2 3 réels. III.B.1) Montrer qu’il existe un unique cercle dans E et que si le point M2 4 d’affixe z appartient à toutes les coniques éléments de E , alors z est de la24 4 forme .aexp()i θ4 III.B.2) Soit le déterminant 2 4 4 3 z z + a z z1 1 1 1 2 4 4 3 z z + a z z2 2 2 2 D = 2 4 4 3 z z + a z z3 3 3 3 2 4 4 3 z z + a z z4 4 4 4 4Montrer que D est de la forme ()z z z z – a V , où V s’exprime très sim-1 2 3 4 plement à l’aide de Vz,,,z z z .1 2 3 4 III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente à la nul- lité de D . III.B.4) a) En déduire l’ensemble des points communs aux coniques de E . Discuter2 soigneusement le nombre d’éléments de cet ensemble. b) Lorsque ce nombre est égal à 4 , que peut-on dire des directions des bissectri- ces du couple de droites ()M M , M M ?1 2 3 4 III.C - III.C.1) Généraliser les résultats de III.B.4 au cas où l’on ne fait plus l’hypo- thèse III.B. [On montrera comment on peut se ramener à ce cas.] III.C.2) Soit trois points ABC, , non alignés dans P et ()∆ une droite. Par A , resp ⋅ B , resp ⋅ C , on mène la parallèle à la symétrique de la droite BC , resp ⋅ CA , resp ⋅ AB, par rapport à ()∆ . Montrer que ces trois droites concourent. [On pourra commencer par le cas où ()∆ est l’axe Ox ; dans ce cas, il suffit d’utiliser les résultats de la partie III.] Concours Centrale-Supélec 2004 5/7MATHÉMATIQUES II Filière PC Partie IV - On considère dans cette partie des équations de la forme 22 Az++Az Bz+Bz + C =0 (1) où A ≠ 0 et BC sont deux complexes et un réel. IV.A - IV.A.1) Soit θ un réel et Φ l’application de CI dans CI qui à zz associe exp()i θ . Montrer que, si ()Γ ⊂ P a une équation de la forme (1), alors on peut choisir θ pour que ΦΓ() ait une équation de la forme 2A ′ 2 ------()z + z ++B ′zB ′z + C ′ =0 2 ∗+où l’on ait de plus A ′ ∈ IR . IV.A.2) En déduire la nature d’une telle partie ()Γ de P . [On pourra revenir en coordonnées cartésiennes.] IV.B - Soit trois points , M ,M M non alignés donnés, d’affixes respectifs z ,1 2 3 1 z , z . On appelle E l’ensemble des coniques de P contenant ces trois points32 3 et ayant une équation de la forme (1). Soit M un point de Pz, d’affixe . Mon-4 4 trer que toutes les coniques de E passent par M si, et seulement si, le rang3 4 de la matrice 2 2 z z z z 11 1 1 1 2 2 z z z z 12 2 2 2 M ′ = 2 2 z z z z 13 3 3 3 2 2 z z z z 14 4 4 4 est égal à une valeur que l’on précisera. IV.C - Dans cette question, on suppose que de plus z , z et z sont de même1 2 3 3module a > 0 et ont a pour produit. IV.C.1) Déterminer deux complexes uv et tels que z, z et z soient solu-1 2 3 3 2 3tions de Z–0uZ + vZ – a = . Concours Centrale-Supélec 2004 6/7MATHÉMATIQUES II Filière PC IV.C.2) En déduire des complexes α , α′ , β , β′ tels que z , z et z soient solu-1 2 3 tions de 2⎧H()Z==Z++αZ β – aZ 01⎪ ⎨ 1 2 ⎪H()ZZ++α′ β′Z – Z 0---2 a⎩ IV.C.3) Grâce à des combinaisons linéaires bien choisies sur les rangées de M ′, montrer que toutes coniques de E passent par M si, et seulement si,3 4 H()zH()z 0 (2)1 4 2 4 IV.C.4) a) Montrer qu’il existe un polynôme ϖ()Z à coefficients complexes, de degré 4 , tel que (2) implique ϖ()z = 0 ; on donnera d’un tel polynôme les coefficients en4 4 3 Z et en Z , en fonction de au, et v . b) Déterminer les zéros de ϖ en en discutant la multiplicité. [On remarquera que trois zéros de ϖ sont déjà connus.] On ne demande pas de vérifier qu’inver- sement tous les complexes obtenus vérifient (2). IV.C.5) On choisit z = z++z z .4 1 2 3 a) Déterminer la valeur du produit scalaire 〈〉M M , M M . [On pourra intro-1 4 2 3 duit le produit ()z – z()z – z .]4 1 3 2 b) Que repré