CCSE 2004 mathematiques 2 classe prepa pc

MATHÉMATIQUES II Filière PCMATHÉMATIQUES II2Dans tout le problème, P désigne le plan affine euclidien IR muni de son pro-duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique ()O ; i, j de sonorientation canonique et de son repère polaire canonique. On appellera conique toute partie C (vide ou non) de P ayant une équation dela forme2 2{}M ∈ C ⇔{}AX++BXY CY+DX+EY+F =0()XY,Aoù ABCDEF, , , , , sont six réels, avec en outre , B , C non tous nuls.6 AÀ tout (, , , , , ), élément de IR tel que , BC, non tous nuls cor-respond ainsi une conique C , que l’on pourra noter C .()AB,,CDEF,,,Le but du problème est notamment l’étude de l’ensemble des points communs àcertains ensembles de coniques.Partie I - PréliminairesI.1) Montrer que les fonctions θ a cos2 θ ; θ a sin2 θ ; θθa cos ;θθa sin ;θ a 1 de IR vers IR forment une famille libre dans l’espace des fonctions numé-riques définies sur IR .I.2) Soit un cercle quelconque du plan P , que l’on supposera de rayon ρ > 0 .Montrer que si le cercle est inclus dans la conique C , alors AC=()AB,,CDEF,,,et B = 0 . Réciproquement, que peut-on dire d’une conique C ?A,,0 ADEF,,,Concours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière PCFilière PCPartie II - On note P ′ = P\{}Oy le plan PM privé de l’axe des ordonnées. On note un0point de coordonnées ()X , Y appartenant à P ′ .0 0Soit E l’ensemble des coniques C satisfaisant aux quatre1 ()AB,,CDEF,,,conditions :⎧ ⎧E = 0M ∈ C0⎨ ⎨F = 0⎩ ⎩AC=II.A - II.A.1) ...