CCSE 2006 mathematiques 1 classe prepa psi

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D aprŁs centrale PSI - 2006Øpreuve 1Notations et dØ…nitions. p2 2 2- R est muni de la norme k(x;y)k = x +y .+ + 1 +- OnnoteC(R ;R)el nsembledesfonctionscontinuesde R dansRetL l ensembledesfonctions f 2C(R ;R)intØgrablesZ +1+ 1surR . Si f 2L , on pose kfk = jfj.10+ +- On note B l ensemble des fonctions f 2C(R ;R) bornØes surR . Si f 2B, on pose kfk = supjfj.1+R + - Si 2 [1;+1[, on convient que 0 = 0 ; ainsi, t2R 7!t est continue.Z +11- On pose, lorsque cela a un sens, I() = dt.1+t0+- Si 2 [1;+1[ et h est une fonction continue deR dansR, on note E l Øquation di⁄Ørentielle linØaire ;h100 0(E ) : y y +y =h ;h 1+t+ 2Par dØ nition, une solution de (E ) est une fonction deR dansR de la variable t de classe C vØri…ant (E ). ;h ;h1=- Dans tout le problŁme on notera q la fonction dØ…nie par : 8t2R , q(t) = et Q la primitive nulle en 0 de q .1+t- Pour une Øquation di⁄Ørentielle linØaire du second ordre (E), de second membre h, on dØ nit les propriØtØs de stabilitØsuivantes :–on dira que (E) est stable par rapport aux conditions initiales si et seulement si pour tout " > 0, il existe0 > 0 tel que si f est une solution de (E) vØri…ant k(f(0);f (0))k, alors f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout " > 0, il1 0existe > 0 tel que si h 2 L est tel que khk et f est solution de (E) vØri…ant (f(0);f (0)) = (0;0), alors1f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au ...

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0, il existe0 > 0 tel que si f est une solution de (E) vØri…ant k(f(0);f (0))k, alors f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout " > 0, il1 0existe > 0 tel que si h 2 L est tel que khk et f est solution de (E) vØri…ant (f(0);f (0)) = (0;0), alors1f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au ..." />

Daprès centrale PSI - 2006 épreuve 1 Notations et dénitions. p 2 2 2 -Rest muni de la normek(x; y)k=x+y. + +1 + - OnnoteC(R;R)lensemble des fonctions continues deRdansRetLlensemble des fonctionsf2 C(R;R)intégrables Z +1 + 1 surR. Sif2L, on posekfk 1 =jfj. 0 + + - OnnoteBlensemble des fonctionsf2 C(R;R)bornées surR. Sif2B, on posekfk 1 = supjfj. + R + - Si2[1;+1[, on convient que0 =0; ainsi,t2R7!test continue. Z +1 1 - Onpose, lorsque cela a un sens,I() =dt.  1 +t 0 + - Si2[1;+1[ethest une fonction continue deRdansR, on noteE ;h léquation di¤érentielle linéaire 1 00 0 (E ;h ) :yy+y=h  1 +t + 2 Par dénition, une solution de(E ;h )est une fonction deRdansRde la variabletde classeCvériant(E ;h ). 1 = - Danstout le problème on noteraqla fonction dénie par :8t2R,q(t) =etQla primitive nulle en0deq.  1 +t - Pourune équation di¤érentielle linéaire du second ordre(E), de second membreh, on dénit les propriétés de stabilité suivantes : on dira que(E)eststable par rapport aux conditions initialessi et seulement si pour tout" >0, il existe 0  >0tel que sifest une solution de(E)vériantk(f(0); f(0))k , alorsf2Betkfk 1 ". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens 1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk 1 etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk 1 ". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk 1 etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk 1 ". De plus, dans le cas de léquation(E ;0 ): 2 on dira que(E)eststable par rapport au paramètresi et seulement si pour tout(a; b)2Ret" >0, il existe >0sitel que :2[1;+1[vériejj ,fest solution de(E ;0 )etgest solution de(E ;0 )avec 0 0 (f(0); f(0)) = (g(0); g(0)) = (a; b), alorsfg2Betkfgk 1 ". Objectifs et dépendances des parties. - Lobjectifdu problème est détudier le comportement des solutions de(E ;0 )vers+1, ainsi que di¤érentes notions de stabilité. 00 - LapartieIétudie le cas de léquation limite à linni"y+y=h. - LapartieII, indépendante deI, étudie le comportement à linni des solutions de(E ;0 )pour >1. - LapartieIII, qui étudie les problèmes de stabilité pour >1, utilise des résultats deIIA,II:CetI:5. - LapartieIVqui étudie le comportement à linni des solutions de(E 1;0 )utiliseII:B. - LapartieV, qui étudie les problèmes de stabilité pour= 1, utilise les partiesIVetII. 00 Partie I. Etude de léquationy+y=h. +00 Sih2 C(R;R), on note(F h )léquation di¤érentielley+y=h. Pardénition, une solution de(F h )est une fonction de 2 + classeCdeRdansRvériant(F h )? I.A. A.1. Donnerlensemble des solutions de(F 0 ).