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Daprès centrale PSI - 2006 épreuve 1 Notations et dénitions. p 2 2 2 -Rest muni de la normek(x; y)k=x+y. + +1 + - OnnoteC(R;R)lensemble des fonctions continues deRdansRetLlensemble des fonctionsf2 C(R;R)intégrables Z +1 + 1 surR. Sif2L, on posekfk1=jfj. 0 + + - OnnoteBlensemble des fonctionsf2 C(R;R)bornées surR. Sif2B, on posekfk1= supjfj. + R +- Si2[1;+1[, on convient que0 =0; ainsi,t2R7!test continue. Z +1 1 - Onpose, lorsque cela a un sens,I() =dt. 1 +t 0 + - Si2[1;+1[ethest une fonction continue deRdansR, on noteE;hléquation di¤érentielle linéaire 1 00 0 (E;h) :yy+y=h 1 +t + 2 Par dénition, une solution de(E;h)est une fonction deRdansRde la variabletde classeCvériant(E;h). 1 = - Danstout le problème on noteraqla fonction dénie par :8t2R,q(t) =etQla primitive nulle en0deq. 1 +t - Pourune équation di¤érentielle linéaire du second ordre(E), de second membreh, on dénit les propriétés de stabilité suivantes : on dira que(E)eststable par rapport aux conditions initialessi et seulement si pour tout" >0, il existe 0  >0tel que sifest une solution de(E)vériantk(f(0); f(0))k , alorsf2Betkfk1". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens 1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk1etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk1". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk1etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk1". De plus, dans le cas de léquation(E;0): 2 on dira que(E)eststable par rapport au paramètresi et seulement si pour tout(a; b)2Ret" >0, il existe >0sitel que :2[1;+1[vériejj ,fest solution de(E;0)etgest solution de(E;0)avec 0 0 (f(0); f(0)) = (g(0); g(0)) = (a; b), alorsfg2Betkfgk1". Objectifs et dépendances des parties. - Lobjectifdu problème est détudier le comportement des solutions de(E;0)vers+1, ainsi que di¤érentes notions de stabilité. 00 - LapartieIétudie le cas de léquation limite à linni"y+y=h. - LapartieII, indépendante deI, étudie le comportement à linni des solutions de(E;0)pour >1. - LapartieIII, qui étudie les problèmes de stabilité pour >1, utilise des résultats deIIA,II:CetI:5. - LapartieIVqui étudie le comportement à linni des solutions de(E1;0)utiliseII:B. - LapartieV, qui étudie les problèmes de stabilité pour= 1, utilise les partiesIVetII. 00 Partie I. Etude de léquationy+y=h. +00 Sih2 C(R;R), on note(Fh)léquation di¤érentielley+y=h. Pardénition, une solution de(Fh)est une fonction de 2 + classeCdeRdansRvériant(Fh)? I.A. A.1. Donnerlensemble des solutions de(F0).