CCSE 2006 mathematiques 1 classe prepa psi

D aprŁs centrale PSI - 2006Øpreuve 1Notations et dØ…nitions. p2 2 2- R est muni de la norme k(x;y)k = x +y .+ + 1 +- OnnoteC(R ;R)el nsembledesfonctionscontinuesde R dansRetL l ensembledesfonctions f 2C(R ;R)intØgrablesZ +1+ 1surR . Si f 2L , on pose kfk = jfj.10+ +- On note B l ensemble des fonctions f 2C(R ;R) bornØes surR . Si f 2B, on pose kfk = supjfj.1+R + - Si 2 [1;+1[, on convient que 0 = 0 ; ainsi, t2R 7!t est continue.Z +11- On pose, lorsque cela a un sens, I() = dt.1+t0+- Si 2 [1;+1[ et h est une fonction continue deR dansR, on note E l Øquation di⁄Ørentielle linØaire ;h100 0(E ) : y y +y =h ;h 1+t+ 2Par dØ nition, une solution de (E ) est une fonction deR dansR de la variable t de classe C vØri…ant (E ). ;h ;h1=- Dans tout le problŁme on notera q la fonction dØ…nie par : 8t2R , q(t) = et Q la primitive nulle en 0 de q .1+t- Pour une Øquation di⁄Ørentielle linØaire du second ordre (E), de second membre h, on dØ nit les propriØtØs de stabilitØsuivantes :–on dira que (E) est stable par rapport aux conditions initiales si et seulement si pour tout " > 0, il existe0 > 0 tel que si f est une solution de (E) vØri…ant k(f(0);f (0))k, alors f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout " > 0, il1 0existe > 0 tel que si h 2 L est tel que khk et f est solution de (E) vØri…ant (f(0);f (0)) = (0;0), alors1f 2B et kfk ".1–on dira que (E) est stable par rapport au ...