Composition de mathématiques générales 2005 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de mathématiques générales 2005. Retrouvez le corrigé Composition de mathématiques générales 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 31 mars 2008
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

concours externe derecrutementdeprofesseursagre´ge´s

compositiondemath´ematiquesge´ne´rales

SESSION DE 2005

section:math´ematiques

dur´ee:6heures

Lescalculatrices´electroniquesdepochesontautoris´ees,conforme´menta`lacirculaire99-186 du 16 novembre 1999.

Laqualite´delar´edactionetdelapre´sentation,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements constituerontune´le´mentimportantpourl’appre´ciationdescopies.

Lescorpsconside´r´esdansleproble`mesontsuppos´escommutatifs.Pourtoutentiern>1, on noteM n (Cicescarr´ees`aaenna’l)rtamsedunlignes etnco`acieffitsennsdaocolnnseC,M n (Z) le sous-anneau deM n (Csnadstneicffiero´mf)`acoicesmatredesZ, etC n (Z) l’ensemble des vecteurscolonnes`ansnaeicffidstnnes`acoeligZ.

Pour tout ensembleZ, on noteS(Z) le groupe des bijections deZlui-sure.SimˆemXetY X sont deux ensembles, on noteYl’ensemble des applications deXdansY.

I.

1) SoitAune matrice deM n (C). 1-a) Montrer queA∈M n (Z) si et seulement si, pour toutXdansC n (Z), on aAX∈C n (Z). −1 1-b) SoitAune matrice deM n (Zant,not´e´deettermind)noltdeA, est non nul et soitAson −1 inverse dansM n (C). Montrer queA∈M n (Z) si et seulement si|detA|= 1. n n 2) On munitRcatsuiodprund’e´tonerial< , >. Pour toute partieYdeR, on note ∗n Y={x∈R| ∀y∈Y, <x, y>∈Z}. n SiB= (v i ) 16i6n est une base deR, on note n n o X n L B =m i v i  (m 1 , . . . , m n )∈Z i=1 n le sous-groupe additif de (R,+rng)erdneape´B; de plus, on noteG B la matrice de< , >dans la baseBte´mysecirtamaleir-d`at-esc’,el(odtnitevposifinieed´eriqui, ju-t)me`ieoceeicffiavtn < v i , v j >. n ∗ −1 2-a) Soitx∈R. Montrer quex∈Lsi et seulement s’il existeX∈CueGst B n (Z) tel q B Xe levecteurcolonneform´edescomposantesdexdans la baseB. ∗ 2-b) On suppose queL B ⊂Lque. rerG B ∈M n (Z), e B Mont tque detG B = 1 si et seulement ∗ siL=L B . B n∗ sa base duale. Soi 3) On note (e i ) 16i6n la base canonique deRet (e i ) 16i6n tLun sous-groupe n nn du groupe additif (R,+), tel que 2Z⊂L⊂Z. Pour 16i6n, on poseL i =L∩F i ,u`oF i n est le sous-espace vectoriel deRenrape´rdneg{e i , . . . , e n }. ∗ 3-a) Montrer que, pour touti, 16i6n, il existea∈ {1,2}, tee i l que i (L i ) =a i Z. ∗ el quee(u) =a. 3-b) Pour 16i6n, soitu i ∈L i t i ii Montrer que (u i ) 16i6n engendreLet est n une base deR. n−1 4) SoitCunZ/2Z-sous-espace vectoriel de (Z/2Z) ,etL=ρ(C),o`uρest l’application de n n Zsur (Z/2Z)´dfieinperaρ(m 1 , . . . , m n ) = (˜m 1 , . . . , m˜ n ),˜mte´aclaantlessedmmodulo 2. n X 1 Dans cette question, le produit scalaire< , >ed´tnsfiepira< x,y >=x i y i ,pour tout 2 i=1 n n couple de vecteursx= (x 1 . . . , x n ) ety= (y 1 , . . . , y n ) deR. De plus, on munit (Z/2Z) de laformebiline´airenonde´g´ene´r´ee,de´finie,pourtoutcoupledevecteursx= (x 1 . . . , x n ) et n X n y= (y 1 , . . . , y n ) de (Z/2Zpar) ,x.y=x i y i . i=1 2

n∗ −1⊥ ⊥ 4-a) Montrer qu’il existe une baseBdeRengendrantL, et queL=ρ(C),ou`Cest l’orthogonal deCred´´eaieci-efinialoftna`linimrberemevetilassde.us ⊥ 4-b) On suppose queC⊂C .Montrer queG B tneisre,cffieitnesest`acoetdeuetqG B = 1 si ⊥ et seulement siC=C .

II.

1) SoitKun corps,AunK-espace affine de dimension finier>3, etFle sous-espace vectoriel A deKsnffiaensde´ermfoioctonsff:A→K. 1-a) Montrer queFest de dimensionr+ 1. 1-b) SoitG af f (A) le groupe affine deA,c’erguoerel-aidts`-onticalippsadepesevitcejibsenffias deAui-mˆemedansluqeM.nortreG af f (A) ={σ∈S(A)| ∀f∈F, f◦σ∈F}. 2) On suppose ici queKest un corps fini et on noteq.Soientsstbmernoon´lme’de´∙la forme X A A⊥ biline´airenond´eg´en´ere´esurKde´nfieip,uorf, g∈K, parf∙g=f(x)g(x).On noteF x∈A l’orthogonal deFr.ree´ialinimrbeetofacetent`ivemelat −1r−1 2-a) Soitf∈F, non constante. Montrer que, pour touta∈K, l’ensemblef({a}) aq e´l´ements. ⊥ ⊥ 2-b) Montrer queF⊂F, et queF=Fsi et seulement siq= 2 etr= 3. 3 3) Dans cette question, on suppose queK=Z/2Zet queAest l’espace affineK, dont on nume´rotelespointsparP 0 = (0,0,0),P 1 = (1,0,0),P 2 = (1,1,0),P 3 = (0,1,1),P 4 = (1,0,1), P 5 = (0,1,0),P 6 = (0,0,1) etP 7 = (1,1,1). A8 Soitϕ:K→Knfieiaprtcvidee´reaijebinlio´einlppataci’lf7→(f(P 0 ), f(P 1 ), . . . , f(P 7 )) et 8 Hle sous-espace vectoriel deKaag`le´ϕ(F). 3-a) CombienHposeonnnluel?stement4composanteme´astntnaycaxe`ess-tdeld-iel’´ 3-b) Montrer qu’une base deHest {(1,1,1,1,1,1,1,1),(0,1,1,0,1,0,0,1),(0,0,1,1,0,1,0,1),(0,0,0,1,1,0,1,1)}.

4) On utilise dans cette question les notations de la question I-4. On suppose quen= 8 et C=H. 4-a) Montrer que :inf{< x,x >|x∈L− {0}}= 2. 4-b) CombienL-tde`essel’´ld-istneme´opxtels quex >< x,= 2? 4-c)D´eduiredecequipre´ce`de i)L’existenced’unematricesym´etriquede´finiepositivedansM 8 (Z),ttne1imantereed´d dont les termes diagonaux sont pairs. 8 ii) L’existence d’une baseBde l’espace euclidien usuelRe´irporpaviuse´tsspo,lantda´ente: soitSnalremrolcueeidies´eraden1yoou(psenne)centr´eesenlseoblbdeefmrlusenseml’e points deL B e´´lmenestedL.seSets,aqch´eueeml´ire´sruejsidtniotdeux`adeuxd’intenedtsno 1 S40au`a2.tresseegtnttna 1 deuxboulesferme´essontditestangentessiladistancedeleurscentreseste´galea`lasommedeleursrayons.

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Danslasuiteduproble`me,k´dgiseecsdacarunnerpcouqdeffie´´tresiitrente 2 de 2,Q={x∈k| ∃y∈k− {0}, x=y}nonr´esl’elbmesneracsesed 1 nuls, etX=P(k) =k∪ {∞}la droite projective surk. On rappelle que   a b l’applicationα: GL 2 (k)→S(Xq)iua`M= associel’homographie c d ax+b α(M) :x7→est un morphisme de groupes. On note Ker(α) son noyau, cx+d −1 c’est-a`-direα({id X }). Onrappelle´egalementque,sic= 0, on aα(M)(∞) =∞, et que, sic6= 0,   a d α(M)(∞et) =α(M)−=∞. c c On note SL 2 (k) le sous-groupe de GL 2 (k)irecmstae´edofmrantrmin´etesded 1 etN= PSL 2 (k) l’image de SL 2 (k) parα.

III.   1 0 1-a) Montrer que SL 2 (k)∩Ker(α) ={−I 2 , I 2 },o`uI 2 = . 0 1 1-b) SoitM∈GL 2 (k) ;montrer queα(M)∈Nsi et seulement si det(M)∈Q. 2) Sikcorpsfiniestuna`qstedmenee´´lmbnod’reullcleertnemac,s´e´leNen fonction deq. 3) Montrer que les homographiesx7→h i (x) =ix(pouri∈Q),x7→t j (x) =x+j(pourj∈k) 1 etx7→w(x) =−neenraitapptna`Net l’engendrent. x 4) Soitfordre2deule´neme´’dtnN. i , 4-a) Montrer quefsnade´uguetsocjnNhenua`mrefoladeiephraogomx7→w i (x) =− x aveci∈Q. 4-b) Montrer que siknuocjngulixesietu´euaaniomme´es,ntinscelq´gdefdansNne −1 mmutant pas avecf(on pourra calculer cot a ◦w i ◦t a ). −→ 5) SoitAunZ/2Z-espace affine de directionAetG af f (A) son groupe affine. 5-a) Montrer que, siPest un sous-groupe deG af f (Aentre´eiffdnoitalsnartedsaantpntenneco) −→ de l’application identique, alorsPestisomoedupL(eGsuosorg-ehprnua`A). 5-b) On suppose quekaae´qnme´liomuicsntrerque,ents.MonisNs-ounsaumorohp`eetssi −→ groupe deG af f (Aositseli,)us-gunsohe`amorp(LdeGeorpuA).

IV.

On note 1 :X→Z/2Ztn´egela`e1a,folatinccoontans 0 :X→Z/2Zla fonction nulle, on note−Q={−x|x∈Q}et on suppose quekve´alrpirefi´et´oprie(∗) suivante : (∗)k− {0}est l’union disjointe deQet−Q. 1) Montrer que, sikaqe´me´l(eh`esypot,l’hents∗avelqeiuse´t)ae`ntq≡ −4.1 mod

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