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Composition de mathématiques générales 2005 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de mathématiques générales 2005. Retrouvez le corrigé Composition de mathématiques générales 2005 sur Bankexam.fr.
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concours externe derecrutementdeprofesseursagre´ge´s
compositiondemath´ematiquesge´ne´rales
SESSION DE 2005
section:math´ematiques
dur´ee:6heures
Lescalculatrices´electroniquesdepochesontautoris´ees,conforme´menta`lacirculaire99-186 du 16 novembre 1999.
Laqualite´delar´edactionetdelapre´sentation,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements constituerontune´le´mentimportantpourlappre´ciationdescopies.
Lescorpsconside´r´esdansleproble`mesontsuppos´escommutatifs.Pourtoutentiern>1, on noteMn(Cicescarr´ees`aaennal)rtamsedunlignes etnco`acietsennsdaocolnnseC,Mn(Z) le sous-anneau deMn(Csnadstneicero´mf)`acoicesmatredesZ, etCn(Z) l’ensemble des vecteurscolonnes`ansnaeicdstnnes`acoeligZ.
Pour tout ensembleZ, on noteS(Z) le groupe des bijections deZlui-sure.SimˆemXetY X sont deux ensembles, on noteYl’ensemble des applications deXdansY.
I.
1) SoitAune matrice deMn(C). 1-a) Montrer queAMn(Z) si et seulement si, pour toutXdansCn(Z), on aAXCn(Z). 1 1-b) SoitAune matrice deMn(Zant,not´e´deettermind)noltdeA, est non nul et soitAson 1 inverse dansMn(C). Montrer queAMn(Z) si et seulement si|detA|= 1. n n 2) On munitRcatsuiodprunde´tonerial< , >. Pour toute partieYdeR, on note n Y={xR| ∀yY, <x, y>Z}. n SiB= (vi)16i6nest une base deR, on note n n o X n LB=mivi(m1, . . . , mn)Z i=1 n le sous-groupe additif de (R,+rng)erdneape´B; de plus, on noteGBla matrice de< , >dans la baseBte´mysecirtamaleir-d`at-esc,el(odtnitevposinieed´eriqui, ju-t)me`ieoceeicavtn < vi, vj>. n∗ −1 2-a) SoitxR. Montrer quexLsi et seulement s’il existeXCueGst B n(Z) tel qBXe levecteurcolonneform´edescomposantesdexdans la baseB. 2-b) On suppose queLBLque. rerGBMn(Z), e BMont tque detGB= 1 si et seulement siL=LB. B nsa base duale. Soi 3) On note (ei)16i6nla base canonique deRet (ei)16i6ntLun sous-groupe n nn du groupe additif (R,+), tel que 2ZLZ. Pour 16i6n, on poseLi=LFi,u`oFi n est le sous-espace vectoriel deRenrape´rdneg{ei, . . . , en}. 3-a) Montrer que, pour touti, 16i6n, il existea∈ {1,2}, tee il quei(Li) =aiZ. el quee(u) =a. 3-b) Pour 16i6n, soituiLiti iiMontrer que (ui)16i6nengendreLet est n une base deR. n1 4) SoitCunZ/2Z-sous-espace vectoriel de (Z/2Z) ,etL=ρ(C),o`uρest l’application de n n Zsur (Z/2Z)´deinperaρ(m1, . . . , mn) = (˜m1, . . . , m˜n),˜mte´aclaantlessedmmodulo 2. n X 1 Dans cette question, le produit scalaire< , >ed´tnsepira< x,y >=xiyi,pour tout 2 i=1 n n couple de vecteursx= (x1. . . , xn) ety= (y1, . . . , yn) deR. De plus, on munit (Z/2Z) de laformebiline´airenonde´g´ene´r´ee,de´nie,pourtoutcoupledevecteursx= (x1. . . , xn) et n X n y= (y1, . . . , yn) de (Z/2Zpar) ,x.y=xiyi. i=1 2
n∗ −1⊥ ⊥ 4-a) Montrer qu’il existe une baseBdeRengendrantL, et queL=ρ(C),ou`Cest l’orthogonal deCred´´eaieci-enialoftna`linimrberemevetilassde.us 4-b) On suppose queCC .Montrer queGBtneisre,ceitnesest`acoetdeuetqGB= 1 si et seulement siC=C .
II.
1) SoitKun corps,AunK-espace affine de dimension finier>3, etFle sous-espace vectoriel A deKsnaensde´ermfoioctonsff:AK. 1-a) Montrer queFest de dimensionr+ 1. 1-b) SoitGaf f(A) le groupe affine deA,cerguoerel-aidts`-onticalippsadepesevitcejibsenas deAui-mˆemedansluqeM.nortreGaf f(A) ={σS(A)| ∀fF, fσF}. 2) On suppose ici queKest un corps fini et on noteq.Soientsstbmernoon´lmede´la forme X A Abiline´airenond´eg´en´ere´esurKde´neip,uorf, gK, parfg=f(x)g(x).On noteF xA l’orthogonal deFr.ree´ialinimrbeetofacetent`ivemelat 1r1 2-a) SoitfF, non constante. Montrer que, pour toutaK, l’ensemblef({a}) aq e´l´ements. ⊥ ⊥ 2-b) Montrer queFF, et queF=Fsi et seulement siq= 2 etr= 3. 3 3) Dans cette question, on suppose queK=Z/2Zet queAest l’espace affineK, dont on nume´rotelespointsparP0= (0,0,0),P1= (1,0,0),P2= (1,1,0),P3= (0,1,1),P4= (1,0,1), P5= (0,1,0),P6= (0,0,1) etP7= (1,1,1). A8 Soitϕ:KKneiaprtcvidee´reaijebinlio´einlppatacilf7→(f(P0), f(P1), . . . , f(P7)) et 8 Hle sous-espace vectoriel deKaag`le´ϕ(F). 3-a) CombienHposeonnnluel?stement4composanteme´astntnaycaxe`ess-tdeld-iel´ 3-b) Montrer qu’une base deHest {(1,1,1,1,1,1,1,1),(0,1,1,0,1,0,0,1),(0,0,1,1,0,1,0,1),(0,0,0,1,1,0,1,1)}.
4) On utilise dans cette question les notations de la question I-4. On suppose quen= 8 et C=H. 4-a) Montrer que :inf{< x,x >|xL− {0}}= 2. 4-b) CombienL-tde`essel´ld-istneme´opxtels quex >< x,= 2? 4-c)D´eduiredecequipre´ce`de i)Lexistencedunematricesym´etriquede´niepositivedansM8(Z),ttne1imantereed´d dont les termes diagonaux sont pairs. 8 ii) L’existence d’une baseBde l’espace euclidien usuelRe´irporpaviuse´tsspo,lantda´ente: soitSnalremrolcueeidies´eraden1yoou(psenne)centr´eesenlseoblbdeefmrlusensemle points deLBe´´lmenestedL.seSets,aqch´eueeml´ire´sruejsidtniotdeux`adeuxdintenedtsno 1 S40au`a2.tresseegtnttna 1 deuxboulesferme´essontditestangentessiladistancedeleurscentreseste´galea`lasommedeleursrayons.
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Danslasuiteduproble`me,k´dgiseecsdacarunnerpcouqdeie´´tresiitrente 2 de 2,Q={xk| ∃yk− {0}, x=y}nonr´eslelbmesneracsesed 1 nuls, etX=P(k) =k∪ {∞}la droite projective surk. On rappelle que   a b l’applicationα: GL2(k)S(Xq)iua`M= associel’homographie c d ax+b α(M) :x7→est un morphisme de groupes. On note Ker(α) son noyau, cx+d 1 cest-a`-direα({idX}). Onrappelle´egalementque,sic= 0, on aα(M)() =, et que, sic6= 0,   a d α(M)(et) =α(M)=. c c On note SL2(k) le sous-groupe de GL2(k)irecmstae´edofmrantrmin´etesded 1 etN= PSL2(k) l’image de SL2(k) parα.
III.   1 0 1-a) Montrer que SL2(k)Ker(α) ={−I2, I2},o`uI2= . 0 1 1-b) SoitMGL2(k) ;montrer queα(M)Nsi et seulement si det(M)Q. 2) Sikcorpsniestuna`qstedmenee´´lmbnodreullcleertnemac,s´e´leNen fonction deq. 3) Montrer que les homographiesx7→hi(x) =ix(pouriQ),x7→tj(x) =x+j(pourjk) 1 etx7→w(x) =neenraitapptna`Net l’engendrent. x 4) Soitfordre2deule´neme´dtnN. i , 4-a) Montrer quefsnade´uguetsocjnNhenua`mrefoladeiephraogomx7→wi(x) =x aveciQ. 4-b) Montrer que siknuocjngulixesietu´euaaniomme´es,ntinscelq´gdefdansNne 1 mmutant pas avecf(on pourra calculer cotawita). −→ 5) SoitAunZ/2Z-espace affine de directionAetGaf f(A) son groupe affine. 5-a) Montrer que, siPest un sous-groupe deGaf f(Aentre´eidnoitalsnartedsaantpntenneco) −→ de l’application identique, alorsPestisomoedupL(eGsuosorg-ehprnua`A). 5-b) On suppose quekaae´qnme´liomuicsntrerque,ents.MonisNs-ounsaumorohp`eetssi −→ groupe deGaf f(Aositseli,)us-gunsohe`amorp(LdeGeorpuA).
IV.
On note1:XZ/2Ztn´egela`e1a,folatinccoontans0:XZ/2Zla fonction nulle, on noteQ={−x|xQ}et on suppose quekve´alrpire´et´oprie() suivante : ()k− {0}est l’union disjointe deQetQ. 1) Montrer que, sikaqe´me´l(eh`esypot,lhentsavelqeiuse´t)ae`ntq≡ −4.1 mod
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