BTS CPI 2006, corrigé B) Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de l’équation différentielle précédente. Attention, ce n’est pas une règle EXERCICE 1 systématique dans les sujets de BTS.∆ =4−20 = −16 <0A) 1) je calcule . Puis je calcule les solutions de −2±4i 1) DL ordre 3:l’équation caractéristiques: ce sontz = = −1±2i . Les ...
EXERCICE 1 A)1) je câlcule∆=4−20=−16<0. Puis je câlcule les solutions de −2±4i léquâtion cârâctéristiques: ce sontz= =−1±2i. Les solutions 2 EE de0(qui est léquâtion homogène de), sont donc les −x f(x)=e(λcos(2x)+µsin(2x))oùλ,µsont des pârâmètres réels quon peut librement choisir.
3 22 2) jâig(x)=−x+2x−xdoncg′(x)=−3x+4x−1et g′′(x)=−6x+4. À présent je remplâce dâns léquâ diff, g′′(x)+2g′(x)+5g(x) 2 32 =−6x+4+2(−3x+4x−1)+5(−x+2x−x) 3 2 =−5x+4x−3x+2 cqfd.
3) Les solutions deEsont donc les −x3 2 u(x)=e(λcos(2x)+µsin(2x))−x+2x−x(λ,µ∈)
2) jécris quef(0)=0⇔λ=0puis je câlcule d −x3 2 f′(x)=⎡e(µsin(2x))−x+2x−x⎤ ⎣ ⎦ dx −x2 f′(x)=µe(−sin 2x+2 cos 2x)−3x+4x−1 doùf′(0)=2µ−1doùµ=1donc finâlement −x3 2 f(x)=esin(2x)−x+2x−x
B)Comme souvent, lâ fonction étudiée ici est lâ fonction solution de léquâtion différentielle précédente. Attention, ce nest pâs une règle systématiquedâns les sujets de BTS.
1) DL ordre 3: 3 2 3 ⎛ ⎞ 2x ⎛x x⎞( )3 3 32 f(x)=1−x+−+xε(x)2x−+xε(x)−x+2x−x ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝2 6⎠6 ⎝ ⎠ −x esin 2x 3 ⎛8x⎞4 2 33 32 33 f(x)=2x−2x+x−+xε(x)−x+2x−x=x−x+xε(x) ⎜ ⎟ ⎝6⎠3 4 3 x−y=−x1 2) Tângente en 0:y=x, ensuitef( )(+ε1(x))positif 3 locâlement à gâuche 0,négâtif à droite. Pâr conséquent, locâlement Cf est en âu dessus puis en dessous de∆:
Localement, celâ veut dire dâns un voisinâge âutour de 0. Câr évidemment on ne sâit rien de lâ fonctionε, sinon quelle prend des vâleurs très petites pourx→0. Donc1+ε1(x)peut très bien devenir négâtif pourxgrând. Globâlement, Cf pourrâit trâverser∆âilleurs.
EXERCICE 2, probabilités non corrigé ici, car la probabilités sont hors programme en CPI depuis 2007.