Corrige BTS CPI Mathematiques 2006

Description

BTS CPI 2006, corrigé B) Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de l’équation différentielle précédente. Attention, ce n’est pas une règle EXERCICE 1 systématique dans les sujets de BTS.∆ =4−20 = −16 <0A) 1) je calcule . Puis je calcule les solutions de −2±4i 1) DL ordre 3:l’équation caractéristiques: ce sontz = = −1±2i . Les ...

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Extrait

BTS CPI 2006, corrigé

EXERCICE 1 A)1) je câlcule ∆=4−20=−16<0 . Puis je câlcule les solutions de −2±4i léquâtion cârâctéristiques: ce sont z= =−1±2i . Les solutions 2 E E de 0 (qui est léquâtion homogène de), sont donc les −x f ( x ) =e ( λcos ( 2x ) +µsin ( 2x ) ) où λ,µ sont des pârâmètres réels quon peut librement choisir.

3 22 2) jâi g ( x ) =−x+2x−x donc g′ ( x ) =−3x+4x−1 et g′′ ( x ) =−6x+4 . À présent je remplâce dâns léquâ diff, g′′ ( x ) +2g′ ( x ) +5g ( x ) 2 32 =−6x+4+2 ( −3x+4x−1 ) +5 ( −x+2x−x ) 3 2 =−5x+4x−3x+2 cqfd.

3) Les solutions de E sont donc les −x3 2 u ( x ) =e ( λcos ( 2x ) +µsin ( 2x ) ) −x+2x−x ( λ,µ∈ ) 

2) jécris quef ( 0 ) =0⇔λ=0puis je câlcule d −x3 2 f ′ ( x ) = ⎡ e ( µsin ( 2x ) ) −x+2x−x ⎤ ⎣ ⎦ dx −x2 f ′ ( x ) =µe ( −sin 2x+2 cos 2x ) −3x+4x−1 doùf′ ( 0 ) =2µ−1doù µ=1 donc finâlement −x3 2 f ( x ) =esin ( 2x ) −x+2x−x

B)Comme souvent, lâ fonction étudiée ici est lâ fonction solution de léquâtion différentielle précédente. Attention, ce nest pâs une règle systématiquedâns les sujets de BTS.

1) DL ordre 3: 3 2 3 ⎛ ⎞ 2x ⎛ x x ⎞ ( ) 3 3 32 f ( x ) =1−x+−+xε ( x ) 2x−+xε ( x ) −x+2x−x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 6⎠6 ⎝ ⎠   −x esin 2x  3 ⎛ 8x ⎞ 4 2 33 32 33 f ( x ) =2x−2x+x−+xε ( x ) −x+2x−x=x−x+xε ( x ) ⎜ ⎟ ⎝6⎠3 4 3 x−y=−x1 2) Tângente en 0: y=x , ensuitef ( ) ( +ε 1 ( x ) ) positif 3 locâlement à gâuche 0,négâtif à droite. Pâr conséquent, locâlement Cf est en âu dessus puis en dessous de∆:

Localement, celâ veut dire dâns un voisinâge âutour de 0. Câr évidemment on ne sâit rien de lâ fonction ε , sinon quelle prend des vâleurs très petites pour x→0 . Donc 1+ε 1 ( x ) peut très bien devenir négâtif pourxgrând. Globâlement, Cf pourrâit trâverser∆âilleurs.

EXERCICE 2, probabilités non corrigé ici, car la probabilités sont hors programme en CPI depuis 2007.