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Corrige UTBM Integration Algebre lineaire Fonctions de plusieurs variables 2005 TC

3 pages
UTBM - MT12 - le 5 Novembre 2007M¶edianCalculatrices interdites. Le seul document autoris¶e est une feuille A4recto-verso r¶edig¶ee µa la mainChaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une feuilledifi¶erenteIl sera tenu compte dans la correction de la pr¶esentation et de la r¶edaction correcte desd¶emonstrations.Exercice 1 (Questions de cours) - 6 pointsi) Soient E et F, 2 ...
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UTBM -MT12 -le 5 Novembre 2007
M´edian Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dige´ea`lamain Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille die´rente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapre´sentationetdelare´dactioncorrectedes d´emonstrations.
Exercice 1(Questions de cours) - 6 points i) SoientEetF, 2 espaces vectoriels surCavecdimCE= 2etdimCF= 3. Peut-on trouver unetiecveriaejnienoit´nililacappdeEdansFqui ne soit pas surjective? Justifier. [ oui. Si{a1, a2}et une base deEet{b1, b2, b3}est une base deF, il suffit deconsid´ererlapplicationlin´eairequienvoiea1surb1eta2surb2.] 3 ii) Peut-on trouver une familleF={f1, f2, f3}deRtelle que{f1, f2},{f2, f3}et {f1, f3}soient toutes les trois libres etFso?ee´iltiJustifier.     1 0 1     [ oui. Par ex.{a1= 0, a2= 1, a3= 1}euqea`2nocntats.O 0 0 0 2lesvecteursnesontpascoline´aireseta1+a2=a3donc la famille n’est pas libre.]        1 0 10 1 1        iii) SoitF=vect{0,1,2}etG=vect{0,2,2}, 0 0 31 0 4 3 sous-espaces vectoriels deR. Quelle est la dimension deFG?Justifier.     1 0 1 3     [Onve´riefacilementque{0,1,2}est libre doncF=R 0 0 3     0 11     doncGFdoncFG=G. Or 4.0 + 2= 2}doncdim(G) = 1 04 2.] iv)De´terminer,sans calculs fastidieux-iopruemeteddrersppanednocselleuqa`,sp tions surmR   2 2 m1+ 1m 2 2   det m+ 21m= 0+ 1. 2 2 m+m1m3m+ 2 [lapremi`erecolonne´egalelasommedesdeuxautresdonclede´terminant est nul.]
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