RRUTBM - MT12 - le 15 Mai 2006Correction M´edianIl sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations.Exercice 1 (Questions de cours) - 6 pointsLes questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2lignes maximum.i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels surR. A quelle condition sur dim E et dim Fpeut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective?Justifier.[Si n = dim(F) < dim(E), on a l’application lin´eaire qui envoie les npremiers vecteurs d’une base de E sur les n vecteurs d’une base de F et lesautres sur 0. Le th´eor`eme du rang montre que cette condition est n´ecessaire.](1,5 point)0 1aB Cb 4B Cii) Justifier rapidement que F =f 2R =a=c;b=dg est unR-espace vectoriel@ Acdet donner une base de F. 0 10 11 0B CB C0 1B CB C[On a ´evidemment F = vectf g qui est un espace vectoriel.@ A@ A1 00 10 10 11 0B CB C0 1B CB Cf g est une base de F.] (1,5 point)@ A@ A1 00 14iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dansR . Justifier.0 10 11 0B CB C0 1B CB C[G=vectf g est un suppl´ementaire de F car@ A@ A0 00 00 1 0 1 0 10 11 0 1 0B C B C B CB C0 1 0 1 4B C B C B CB Cf ; ; gestunebasedeR (clairementg´en´eratrice).]@ A @ A @ A@ A1 0 0 00 1 0 0(1,5 point)iv) Calculer en fonction de m2R,0 12 2 2 2m +1 m m m2 2 2 2B Cm m +1 m mB Cdet :@ A1 ¡1 1 ¡12 2 2 2m m m m[En retranchant aux deux premi`ere lignes la derni`ere, on ne change pas le2d´eterminant. Le ...
R
R
UTBM - MT12 - le 15 Mai 2006
Correction M´edian
Il sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
Les questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2
lignes maximum.
i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels surR. A quelle condition sur dim E et dim F
peut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective?
Justifier.
[Si n = dim(F) < dim(E), on a l’application lin´eaire qui envoie les n
premiers vecteurs d’une base de E sur les n vecteurs d’une base de F et les
autres sur 0. Le th´eor`eme du rang montre que cette condition est n´ecessaire.]
(1,5 point)
0 1
a
B Cb 4B Cii) Justifier rapidement que F =f 2R =a=c;b=dg est unR-espace vectoriel@ Ac
d
et donner une base de F. 0 10 1
1 0
B CB C0 1B CB C[On a ´evidemment F = vectf g qui est un espace vectoriel.@ A@ A1 0
0 10 10 1
1 0
B CB C0 1B CB Cf g est une base de F.] (1,5 point)@ A@ A1 0
0 1
4iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dansR . Justifier.0 10 1
1 0
B CB C0 1B CB C[G=vectf g est un suppl´ementaire de F car@ A@ A0 0
0 00 1 0 1 0 10 1
1 0 1 0
B C B C B CB C0 1 0 1 4B C B C B CB Cf ; ; gestunebasedeR (clairementg´en´eratrice).]@ A @ A @ A@ A1 0 0 0
0 1 0 0
(1,5 point)
iv) Calculer en fonction de m2R,
0 1
2 2 2 2m +1 m m m
2 2 2 2B Cm m +1 m mB Cdet :@ A1 ¡1 1 ¡1
2 2 2 2m m m m
[En retranchant aux deux premi`ere lignes la derni`ere, on ne change pas le
2d´eterminant. Le d´eterminant se calcule alors sans difficult´e, il vaut alors 2m .]
(1,5 point)
10
0
0
0
0
0
0
B
0
0
0
;B
0
B
B
0
0
B
0
0
0
;B
0
B
0
B
0
0
0
;B
0
0
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)
Soit E unR-espace vectoriel de dimension 5. Soit B =fb ;b ;b ;b ;b g une base de E.1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 01)MontrerquelafamilleB =fb =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b g1 2 2 3 3 4 4 5 51 2 3 4 5
est une base de E.
[On a b = b , b = b ¡b , b = b ¡b +b , b = b ¡b +b ¡b et5 4 3 25 4 5 3 4 5 2 3 4 5
b =b ¡b +b ¡b +b .B estdoncg´en´eratricedeE etcontient5=dim(E)1 1 2 3 4 5
´el´ements. B est donc une base de E] (2 points)
0 1
x1
B Cx2B C
B C2) Soit x2E avec x = x (coordonn´ees de x dans B).B 3B C
@ Ax4
x5
0Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B ?0 1
x1
B Cx ¡x2 1B C
B C[D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on obtient : x = x ¡x +x .] (23 2 1B C
@ Ax ¡x +x ¡x4 3 2 1
x ¡x +x ¡x +x5 4 3 2 1
points)
3) D´eduire de la question 2) la matrice de passage de B `a B (c.`a.d. P telle
que x =P :x )?
[D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on obtient :
0 1
1 0 0 0 0
B C¡1 1 0 0 0B C
B C1 ¡1 1 0 0P = :]B C
@ A¡1 1 ¡1 1 0
1 ¡1 1 ¡1 1
(2 points)
2Exercice 3 (4 points) (NOUVELLE FEUILLE)0 1 0 1 0 1
1 1 0
3@ A @ A @ ASoit C =fc = 0 ;c = 0 ;c = 0 g la base canonique deR1 2 3
0 0 1
Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par
3 3f : R ¡! R0 1 0 1
x x+y
@ A @ Ay 2y7!
z ¡2x+2y+3z
On cherche `a d´eterminer une base B =fb ;b ;b g dans laquelle la matrice de l’appli-1 2 3
cation f sera 0 1
1 0 0
@ A0 2 0 :
0 0 3
1) Que doivent v´erifier b , b et b pour que la matrice de f dans fb ;b ;b g soit celle1 2 3 1 2 3
que l’on cherche?
[f(b )=b , f(b )=2b , f(b )=3b .] (2 points)1 1 2 2 3 3
2) En d´eduire des vecteurs b , b , et b qui satisfont `a notre recherche.1 2 3 0 1 0 1 0 1
1 1 0
@ A @ A @ A[Onr´esoutlessyst`emeestonobtientb = 0 ,b = 1 ,b = 0 .]1 2 3
1 0 1
(2 points)
3n
N
n
n
n
n
n
n
n
n
N
n
n
n
n
Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)µ ¶
1 1¡2 6Soit A= 10 3
µ ¶
1 021. D´eterminer P 2M (R), inversible, telle que A:P =P:D ou` D =2 10 3µ ¶ µ ¶
a b 1 1
[On r´esout en posant P = et on trouve par ex. P = .]
c d 0 1
(1.5 points)
2 n2. Exprimer A en fonction de P et D, puis A . G´en´eraliser `a A .
1 2 2 1 1[A=PDP , A =PD P . Par r´ecurrence, on trouve A =PD P .]
(1.5 points)
3. Soient (U ) et (V ) deux suites telles quen n2 n n2
⁄8n2N ,
‰
1 1U = U ¡ Vn n¡1 n¡12 6
1V = Vn n¡13
avec U ;V 2R fix´es.0 0µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
U U U U1 0 2 nExprimer en fonction de A et , puis . G´en´eraliser `a
V V V V1 0 2 nµ ¶
U0en fonction de A, n et
V0µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
U U U U U1 0 2 02[ = A: , = A : . Par r´ecurrence, =
V V V V V1 0 2 0µ ¶
U0A : .] (1.5 points)
V0
4. D´eduire des questions pr´ec´edentes les limites des deux suites.
1[En rempla¸cant A par PD P et en faisant le calcul, on obtient :
‰ 1 1 1U =( ) U + (¡( ) +( ) )V0 02 2 3
1V = ( ) V03
Les deux suites convergent donc vers 0.] (1.5 points)
4