Corrige UTBM Integration Algebre lineaire Fonctions de plusieurs variables 2006 TC

R R UTBM - MT12 - le 15 Mai 2006 Correction M´edian Il sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations. Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points Les questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2 lignes maximum. i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels surR. A quelle condition sur dim E et dim F peut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective? Justifier. [Si n = dim(F) < dim(E), on a l’application lin´eaire qui envoie les n premiers vecteurs d’une base de E sur les n vecteurs d’une base de F et les autres sur 0. Le th´eor`eme du rang montre que cette condition est n´ecessaire.] (1,5 point) 0 1 a B Cb 4B Cii) Justifier rapidement que F =f 2R =a=c;b=dg est unR-espace vectoriel@ Ac d et donner une base de F. 0 10 1 1 0 B CB C0 1B CB C[On a ´evidemment F = vectf g qui est un espace vectoriel.@ A@ A1 0 0 10 10 1 1 0 B CB C0 1B CB Cf g est une base de F.] (1,5 point)@ A@ A1 0 0 1 4iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dansR . Justifier.0 10 1 1 0 B CB C0 1B CB C[G=vectf g est un suppl´ementaire de F car@ A@ A0 0 0 00 1 0 1 0 10 1 1 0 1 0 B C B C B CB C0 1 0 1 4B C B C B CB Cf ; ; gestunebasedeR (clairementg´en´eratrice).]@ A @ A @ A@ A1 0 0 0 0 1 0 0 (1,5 point) iv) Calculer en fonction de m2R, 0 1 2 2 2 2m +1 m m m 2 2 2 2B Cm m +1 m mB Cdet :@ A1 ¡1 1 ¡1 2 2 2 2m m m m [En retranchant aux deux premi`ere lignes la derni`ere, on ne change pas le 2d´eterminant. Le d´eterminant se calcule alors sans difficult´e, il vaut alors 2m .] (1,5 point) 10 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 ;B 0 B B 0 0 B 0 0 0 ;B 0 B 0 B 0 0 0 ;B 0 0 Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit E unR-espace vectoriel de dimension 5. Soit B =fb ;b ;b ;b ;b g une base de E.1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 01)MontrerquelafamilleB =fb =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b +b ;b =b g1 2 2 3 3 4 4 5 51 2 3 4 5 est une base de E. [On a b = b , b = b ¡b , b = b ¡b +b , b = b ¡b +b ¡b et5 4 3 25 4 5 3 4 5 2 3 4 5 b =b ¡b +b ¡b +b .B estdoncg´en´eratricedeE etcontient5=dim(E)1 1 2 3 4 5 ´el´ements. B est donc une base de E] (2 points) 0 1 x1 B Cx2B C B C2) Soit x2E avec x = x (coordonn´ees de x dans B).B 3B C @ Ax4 x5 0Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B ?0 1 x1 B Cx ¡x2 1B C B C[D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on obtient : x = x ¡x +x .] (23 2 1B C @ Ax ¡x +x ¡x4 3 2 1 x ¡x +x ¡x +x5 4 3 2 1 points) 3) D´eduire de la question 2) la matrice de passage de B `a B (c.`a.d. P telle que x =P :x )? [D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on obtient : 0 1 1 0 0 0 0 B C¡1 1 0 0 0B C B C1 ¡1 1 0 0P = :]B C @ A¡1 1 ¡1 1 0 1 ¡1 1 ¡1 1 (2 points) 2Exercice 3 (4 points) (NOUVELLE FEUILLE)0 1 0 1 0 1 1 1 0 3@ A @ A @ ASoit C =fc = 0 ;c = 0 ;c = 0 g la base canonique deR1 2 3 0 0 1 Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par 3 3f : R ¡! R0 1 0 1 x x+y @ A @ Ay 2y7! z ¡2x+2y+3z On cherche `a d´eterminer une base B =fb ;b ;b g dans laquelle la matrice de l’appli-1 2 3 cation f sera 0 1 1 0 0 @ A0 2 0 : 0 0 3 1) Que doivent v´erifier b , b et b pour que la matrice de f dans fb ;b ;b g soit celle1 2 3 1 2 3 que l’on cherche? [f(b )=b , f(b )=2b , f(b )=3b .] (2 points)1 1 2 2 3 3 2) En d´eduire des vecteurs b , b , et b qui satisfont `a notre recherche.1 2 3 0 1 0 1 0 1 1 1 0 @ A @ A @ A[Onr´esoutlessyst`emeestonobtientb = 0 ,b = 1 ,b = 0 .]1 2 3 1 0 1 (2 points) 3n N n n n n n n n n N n n n n Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)µ ¶ 1 1¡2 6Soit A= 10 3 µ ¶ 1 021. D´eterminer P 2M (R), inversible, telle que A:P =P:D ou` D =2 10 3µ ¶ µ ¶ a b 1 1 [On r´esout en posant P = et on trouve par ex. P = .] c d 0 1 (1.5 points) 2 n2. Exprimer A en fonction de P et D, puis A . G´en´eraliser `a A . 1 2 2 1 1[A=PDP , A =PD P . Par r´ecurrence, on trouve A =PD P .] (1.5 points) 3. Soient (U ) et (V ) deux suites telles quen n2 n n2 ⁄8n2N , ‰ 1 1U = U ¡ Vn n¡1 n¡12 6 1V = Vn n¡13 avec U ;V 2R fix´es.0 0µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ U U U U1 0 2 nExprimer en fonction de A et , puis . G´en´eraliser `a V V V V1 0 2 nµ ¶ U0en fonction de A, n et V0µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ U U U U U1 0 2 02[ = A: , = A : . Par r´ecurrence, = V V V V V1 0 2 0µ ¶ U0A : .] (1.5 points) V0 4. D´eduire des questions pr´ec´edentes les limites des deux suites. 1[En rempla¸cant A par PD P et en faisant le calcul, on obtient : ‰ 1 1 1U =( ) U + (¡( ) +( ) )V0 02 2 3 1V = ( ) V03 Les deux suites convergent donc vers 0.] (1.5 points) 4