Corrige UTBM Integration Algebre lineaire Fonctions de plusieurs variables 2006 TC

RRUTBM - MT12 - le 15 Mai 2006Correction M´edianIl sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations.Exercice 1 (Questions de cours) - 6 pointsLes questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2lignes maximum.i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels surR. A quelle condition sur dim E et dim Fpeut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective?Justifier.[Si n = dim(F) < dim(E), on a l’application lin´eaire qui envoie les npremiers vecteurs d’une base de E sur les n vecteurs d’une base de F et lesautres sur 0. Le th´eor`eme du rang montre que cette condition est n´ecessaire.](1,5 point)0 1aB Cb 4B Cii) Justifier rapidement que F =f 2R =a=c;b=dg est unR-espace vectoriel@ Acdet donner une base de F. 0 10 11 0B CB C0 1B CB C[On a ´evidemment F = vectf g qui est un espace vectoriel.@ A@ A1 00 10 10 11 0B CB C0 1B CB Cf g est une base de F.] (1,5 point)@ A@ A1 00 14iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dansR . Justifier.0 10 11 0B CB C0 1B CB C[G=vectf g est un suppl´ementaire de F car@ A@ A0 00 00 1 0 1 0 10 11 0 1 0B C B C B CB C0 1 0 1 4B C B C B CB Cf ; ; gestunebasedeR (clairementg´en´eratrice).]@ A @ A @ A@ A1 0 0 00 1 0 0(1,5 point)iv) Calculer en fonction de m2R,0 12 2 2 2m +1 m m m2 2 2 2B Cm m +1 m mB Cdet :@ A1 ¡1 1 ¡12 2 2 2m m m m[En retranchant aux deux premi`ere lignes la derni`ere, on ne change pas le2d´eterminant. Le ...