Corrige UTBM Revision d analyse et d algebre 2007

Description

Eléments de correctionExercice 1 Nombres complexes −→ −→Le plan affine P est rapporté au repère orthonormé direct O, i , j .21.1 On résout dans C l’équation proposée. Son discriminant ∆ est donné par: ∆ =−4 = (2i) . Par suitel’équation prosée admet deux racines conjuguées z et z données par:1 22+2iz = = 1+i; par suite z = 1−i.1 22Par conséquent l’ensemble solution S = {1+i,1−i}.1.2 Soient K, L, M les points de P d’affixes respectives z , z , z définies par:K L M√z = 1+i; z = 1−i; z =−i 3.K L M(a) On appelle N le symétrique du point M par rapport au point L. Par suite L est le milieu de [MN].Ainsi1z = (z +z ) d’où z = 2z −zL N M N L M2 √soit z = 2+i 3−2 .Nπ(b) La rotation r de centre O et d’angle transforme le point M en le point A et le point N en B.2−→ −−→• Par suite, le vecteur OA est le roté du vecteur OM dans la rotation vectorielle d’angle π/2. Ona donc en termes d’affixes:z −z πA O i2=e =i.z −zM OIl vient: √z =iz = 3.A M−→ −−→• De même, le vecteur OB est le roté du vecteur ON dans la rotation vectorielle d’angle π/2. Ona donc en termes d’affixes:z −z πB O i2=e =i.z −zN OIl vient: √z =iz = 2− 3+2i.B N−→(c) La translation t→− de vecteur u d’affixe 2i, transforme le point N en le point C. Par suite l’affixe duu−→vecteur NC est égale à 2i. Ainsi:z −z = 2i d’où z =z +2i,C N C N√soit z = 2+i 3.Cz −zA C1.3 • Calculons donc .z −zB C√ √ √ √3− 2+i 3 3−2 −i 3z −zA C = √ √ = √ √ z −z 2− 3+2i − 2+i 3 − 3+i 2− 3B Cz −zA Cd’où ...

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Extrait

Eléments de correction

Exercice 1 Nombres complexes   −→−→ Le plan affinePest rapporté au repère orthonormé directO, i , j.

2 1.1On résout dansCl’équation proposée. Son discriminant∆est donné par:∆ =−4 = (2i). Par suite l’équation prosée admet deux racines conjuguéesz 1 etz 2 données par: 2 + 2i z 1 = = 1 +i;par suitez 2 = 1−i. 2 Par conséquent l’ensemble solutionS={1 +i,1−i}.

1.2SoientK,L,Mles points dePd’affixes respectivesz K ,z L ,z M définies par: √ z K = 1 +i;z L = 1−i;z M =−i3.

(a)On appelleNle symétrique du pointMpar rapport au pointL. Ainsi

z L

soitz N

=

=

Par suiteLest le milieu de[M N].

1 (z N +z M )d’oùz N = 2z L −z M 2   √ 2 +i3−2.

π (b)La rotationrde centreOet d’angle transforme le pointMen le pointAet le pointNenB. 2 −→−−→ •Par suite, le vecteurOAest le roté du vecteurOMdans la rotation vectorielle d’angleπ/2. On a donc en termes d’affixes: z A −z O i π =e=i. 2 z M −z O Il vient: √ z A =iz M = 3. −→−−→ •De même, le vecteurOBest le roté du vecteurONdans la rotation vectorielle d’angleπ/2. On a donc en termes d’affixes: z B −z O i π 2 =e=i. z N −z O

Il vient: √ z B =iz N = 2−3 + 2i. −→ −→ (c)La translationtde vecteurud’affixe2i, transforme le pointN u −→ vecteurN Cest égale à2i. Ainsi:

1.3

z−z C N soitz C

= =

en le pointC. Par suite l’affixe du

2id’oùz C =z N + 2i, √ 2 +i3.

z A −z C •.Calculons donc z B −z C √  √   √  √ 3−2 +i3 z A −z C 3−2−i3 =  √   √  = √  √  z B −z C 2−3 + 2i−2 +i3−3 +i2−3 z A −z C d’où visiblement=i. z B −z C −→−→ •On déduit de l’écriture obtenue que le vecteurCAest le roté du vecteurCBdans la rotation vectorielle d’angleπ/2. Par suite le triangleABCest isocèle rectangle enC.

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