Corrige UTBM Revision d analyse et d algebre 2007

Eléments de correctionExercice 1 Nombres complexes −→ −→Le plan affine P est rapporté au repère orthonormé direct O, i , j .21.1 On résout dans C l’équation proposée. Son discriminant ∆ est donné par: ∆ =−4 = (2i) . Par suitel’équation prosée admet deux racines conjuguées z et z données par:1 22+2iz = = 1+i; par suite z = 1−i.1 22Par conséquent l’ensemble solution S = {1+i,1−i}.1.2 Soient K, L, M les points de P d’affixes respectives z , z , z définies par:K L M√z = 1+i; z = 1−i; z =−i 3.K L M(a) On appelle N le symétrique du point M par rapport au point L. Par suite L est le milieu de [MN].Ainsi1z = (z +z ) d’où z = 2z −zL N M N L M2 √soit z = 2+i 3−2 .Nπ(b) La rotation r de centre O et d’angle transforme le point M en le point A et le point N en B.2−→ −−→• Par suite, le vecteur OA est le roté du vecteur OM dans la rotation vectorielle d’angle π/2. Ona donc en termes d’affixes:z −z πA O i2=e =i.z −zM OIl vient: √z =iz = 3.A M−→ −−→• De même, le vecteur OB est le roté du vecteur ON dans la rotation vectorielle d’angle π/2. Ona donc en termes d’affixes:z −z πB O i2=e =i.z −zN OIl vient: √z =iz = 2− 3+2i.B N−→(c) La translation t→− de vecteur u d’affixe 2i, transforme le point N en le point C. Par suite l’affixe duu−→vecteur NC est égale à 2i. Ainsi:z −z = 2i d’où z =z +2i,C N C N√soit z = 2+i 3.Cz −zA C1.3 • Calculons donc .z −zB C√ √ √ √3− 2+i 3 3−2 −i 3z −zA C = √ √ = √ √ z −z 2− 3+2i − 2+i 3 − 3+i 2− 3B Cz −zA Cd’où ...