Deuxième composition de Mathématiques 2002 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Deuxième composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Deuxième composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

Polynˆomes`avaleursentie`ressurlesnombrespremiers

Objectif.Lebutdeceprobl`emeestl’e´tuded’ensemblesdepolynˆomesprenantsurcertainespartiesdes valeursparticuli`ereset,notammentunecaract´erisationdespolynoˆmesprenantdesvaleursentie`ressurtous les nombres premiers.

NOTATIONS. SiAetBe´dngis2tneesnembles,Buldsnas´etantincA, on note A\B={x∈A;x∈/ B}. ∗ On note :Nl’ensemble des entiers naturels,Nl’ensembleN\ {0} Z;l’ensemble des entiers relatifs ∗ Ql’ensemble des nombres rationnels,Q + l’ensemble des rationnels positifs ou nuls,Ql’ensembleQ\ {0}; Rbll’eednsemmbreesnole,srse´R + srdelembosspel´enuosfiti;slunees’lPl’ensemble des nombres premiers. Pour tout nombre premierp, on noteZ (p) cude´rrinoitatneeabltinoenaritdesemelbr´eserepntunlsdolsne’ unde´nominateurnondivisibleparp. Pourtoutre´elxleppapelano,re`edeierttienxet on notebxcl’unique entierkntafiire´vk6x < k+ 1. On note : Q[Xl]e’lbdesnme´dnirete´nimeepoesnˆlyesoml’enXnnle,s`acoefficientsratio R[X]’lneese´einrmte´end’inlseemoˆnylopsedelbmXrtou,poulsetr´eenestffieica`ocrutaletnetnrein,R n [X] le sous-ensemble deR[X´ˆeormieesudreoddegers´peoilnyfn]ofmre´´ugelaa`n. Pour tous sous-ensemblesEetFdeR, on note : P(E, F) ={P∈R[X];P(E)⊂F}, a`savoir,l’ensembledes´el´ementsdeR[Xalavelrunehcqaeu´el´ementdetnod]Eeitra`tnappaF. LespartiesA,B,Csontinde´pendantes,lapartieDutilisedesnotionsetre´sultatsdelapartieCuniquement, lapartieEutilisedesre´sultatsant´erieursquiserontenge´ne´ralpr´ecise´sdanslecoursdel’e´nonce´. A -seatrimenee ´´ lplesExem:P(Q,Q),P(R,R + ),P(Q,Q + ). A - I.Cactrae´irasitnoedP(Q,Q)e.dsemoˆnygnargaLe`al’aidedespol j Soitmun entier naturel. Pour tous les entiersietjcompris entre 0 etm, on noteδle symbole i j i deKroneckerd´efinipar:δ= 0 sii6=jetδ= 1. i i Soientq 0 ,q 1 , .. .q m ,mtsnc.sdeltiis+r1e´ A - I. 1.Expliciter, pourj= 0,1, . . . , mnˆompoly,eleL j deR m [Xfiire´v]:tna j L j (q i ) =δpouri= 0,1, . . . , m. i A - I. 2.Montrer que la famille (L j ) 06j6m mrofenuesebal’depaesveceel´elrieorctR m [X]. A-I.3.PourtoutpolynˆomePdeR m [X], exprimerPdans la base (L j ) 06j6m rsedlee´cnofnoitens (P(q j )) 06j6m . A - I. 4.Comparer l’ensembleP(Q,Q) avec l’ensembleQ[X]. A - II.del’tionmbleenseaCarirastce´P(R,R + ). A-II.1.Montrerlapropri´et´esuivante:    4 22 22 22 2 (*)∀(a, b, c, d)∈R,∃(x, y)∈R, a+b c+d=x+y On exprimeraxetyen fonction dea,b,c,dP(.ousrourts´eeltetzopru,noetprarnieretr´ 2 2 t+zxe.)erocpmel’dnuonbme´rraceleludomudmeomc A - II. 2.SoitA(oreotnnunifaiitmmoctatunanuuaen’addsdelutretsnemenee´´ll1se0etetenoiti de la multiplication). Montrerquelaproprie´te´(*)restevalablelorsqu’onremplaceRparA. On note :   2 2 S=z∈A| ∃x∈A,∃y∈A, z=x+y. Montrer queScontient 0 et 1 et est stable pour la multiplication. A - II. 3.SoitPnoundle´lmenent´eunP(R,R + ).

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α A - II. 3. iOn rappelle quePest le produit d’une constante par des facteurs de la forme (X−a) et   β 2 2 X+bX+cou`a,b,c,sntsorsedlee´αetβdes entiers positifs ou nuls etX+bX+c unpolynˆomeirre´ductibledansR[X]. Montrer quePgrdepa´e.Dirneonlrsegieneedts delaconstanteetpr´eciserlaparit´edesentiersα. A-II.3.iiEnd´eduirequePmedeasomr´esscarseltednˆlyesomdedepouxR[X]. A-II.3.iiiDonnerunecaracte´risationdel’ensembleP(R,R + ). A - III.rpeuoallbsaavseptet’neden´ec´onprsatiire´tcaracaLP(Q,Q + ). A - III. 1.Montrer queP(Q,Q + ) est contenu dansP(R,R + ). 2 A-III.2.iDonnerdeuxd´ecompositionsdupolynoˆme2Xeuxsndee4d+solaedmmcaes´err polynˆomesdeR[X]. A - III. 2. iiSoienta,b,c,dd’onait:leuqsletslee´rse 2 2 2 2X+ 4 = (aX+b) +(cX+d) . Montrer que la matrice  ! a b √ 2 2 c d √ 2 2 posse`deuneproprie´t´eremarquablea`pr´eciser.Ende´duirequelesr´eelsa,b,c,dne peuvent pastousˆetredansQ. 2 A-III.2.iiiLepolynˆome2X´xuededse´rracseedmmsolareetlˆ-i+4peutsdementel´eQ[X] ? ´ B.Etude deP(Z,Z) Pour tout entier natureln, on note Γ n lap:rmed´efiniepolynˆo X(X−1). . .(X−n+ 1) Γ 0 (Xet, pour) = 1n >0, Γ n (X.) = n! B - I. 1.Montrer que, pour toutnle,lypoΓeˆnmo n itneppraat`aP(Z,Z). (Pourkedtneme´le´Z, on distinguera selon que 06k < n,k>netk <0.) B - I. 2.Montrer que, pour tout entier naturelm, la famille (Γ n ) 06n6m forme une base de l’espace vectorielr´eelR m [X]. SoitPleem´en´eudtnR m [XnO.]cr´e:it P P=d n Γ n avecd 0 , d 1 , . . . , d m ∈R. 06n6m B-II.Ecrire,a`l’aidedesvaleurs(P(n)) 06n6m illeafamontlired´naeemiltse`nuys,(d n ) 06n6m est solu- tion.Calculerled´eterminantdecesyste`me. B-III.Montrerquelesquatreassertionssuivantessont´equivalentes: (i)P∈ P(Z,Z) (ii)d 0 , d 1 , . . . , d m ∈Z (iii)P(0), P(1), . . . , P(m)∈Z (iv) ilexistemcetufiesrecsno´sslesvalenlesqueldsruetien+1Psont des entiers. 5 4 32 B - IV. 1.Dans cette question,m= 5 etP(X) =X−15X+ 85X−225X+ 274X−120. 5 P De´terminerlesentiers(d n ) 06n65 tels queP=d n Γ n . Montrer quePstsednicuse´rQ. n=0 B - IV. 2.Pourm >mieretd´e,irraitbra0omelynˆudopresose´zenlr m P n P= (−1) Γ n . n=0 Ende´duirelad´ecompositiondePsuesbltirirr´educlynˆomesudtiedopepnorQ. ExprimerP a`l’aideduseulpolynˆomeΓ m . ´ C -Etude deP(E,Z (p) ) Dans toute cette partie,pe´.dise´uengnnombrepremierfix

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