Objectif.Lebutdeceprobl`emeestl’e´tuded’ensemblesdepolynˆomesprenantsurcertainespartiesdes valeursparticuli`ereset,notammentunecaract´erisationdespolynoˆmesprenantdesvaleursentie`ressurtous les nombres premiers.
NOTATIONS. SiAetBe´dngis2tneesnembles,Buldsnas´etantincA, on note A\B={x∈A;x∈/ B}. ∗ On note :Nl’ensemble des entiers naturels,Nl’ensembleN\ {0} Z;l’ensemble des entiers relatifs ∗ Ql’ensemble des nombres rationnels,Q+l’ensemble des rationnels positifs ou nuls,Ql’ensembleQ\ {0}; Rbll’eednsemmbreesnole,srse´R+srdelembosspel´enuosfiti;slunees’lPl’ensemble des nombres premiers. Pour tout nombre premierp, on noteZ(p)cude´rrinoitatneeabltinoenaritdesemelbr´eserepntunlsdolsne’ unde´nominateurnondivisibleparp. Pourtoutre´elxleppapelano,re`edeierttienxet on notebxcl’unique entierkntafiire´vk6x < k+ 1. On note : Q[Xl]e’lbdesnme´dnirete´nimeepoesnˆlyesoml’enXnnle,s`acoefficientsratio R[X]’lneese´einrmte´end’inlseemoˆnylopsedelbmXrtou,poulsetr´eenestffieica`ocrutaletnetnrein,Rn[X] le sous-ensemble deR[X´ˆeormieesudreoddegers´peoilnyfn]ofmre´´ugelaa`n. Pour tous sous-ensemblesEetFdeR, on note : P(E, F) ={P∈R[X];P(E)⊂F}, a`savoir,l’ensembledes´el´ementsdeR[Xalavelrunehcqaeu´el´ementdetnod]Eeitra`tnappaF. LespartiesA,B,Csontinde´pendantes,lapartieDutilisedesnotionsetre´sultatsdelapartieCuniquement, lapartieEutilisedesre´sultatsant´erieursquiserontenge´ne´ralpr´ecise´sdanslecoursdel’e´nonce´. A -seatrimenee´´lplesExem:P(Q,Q),P(R,R+),P(Q,Q+). A - I.Cactrae´irasitnoedP(Q,Q)e.dsemoˆnygnargaLe`al’aidedespol j Soitmun entier naturel. Pour tous les entiersietjcompris entre 0 etm, on noteδle symbole i j i deKroneckerd´efinipar:δ= 0 sii6=jetδ= 1. i i Soientq0,q1, .. .qm,mtsnc.sdeltiis+r1e´ A - I. 1.Expliciter, pourj= 0,1, . . . , mnˆompoly,eleLjdeRm[Xfiire´v]:tna j Lj(qi) =δpouri= 0,1, . . . , m. i A - I. 2.Montrer que la famille (Lj)06j6mmrofenuesebal’depaesveceel´elrieorctRm[X]. A-I.3.PourtoutpolynˆomePdeRm[X], exprimerPdans la base (Lj)06j6mrsedlee´cnofnoitens (P(qj))06j6m. A - I. 4.Comparer l’ensembleP(Q,Q) avec l’ensembleQ[X]. A - II.del’tionmbleenseaCarirastce´P(R,R+). A-II.1.Montrerlapropri´et´esuivante: 4 22 22 22 2 (*)∀(a, b, c, d)∈R,∃(x, y)∈R, a+b c+d=x+y On exprimeraxetyen fonction dea,b,c,dP(.ousrourts´eeltetzopru,noetprarnieretr´ 2 2 t+zxe.)erocpmel’dnuonbme´rraceleludomudmeomc A - II. 2.SoitA(oreotnnunifaiitmmoctatunanuuaen’addsdelutretsnemenee´´ll1se0etetenoiti de la multiplication). Montrerquelaproprie´te´(*)restevalablelorsqu’onremplaceRparA. On note : 2 2 S=z∈A| ∃x∈A,∃y∈A, z=x+y. Montrer queScontient 0 et 1 et est stable pour la multiplication. A - II. 3.SoitPnoundle´lmenent´eunP(R,R+).
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α A - II. 3. iOn rappelle quePest le produit d’une constante par des facteurs de la forme (X−a) et β 2 2 X+bX+cou`a,b,c,sntsorsedlee´αetβdes entiers positifs ou nuls etX+bX+c unpolynˆomeirre´ductibledansR[X]. Montrer quePgrdepa´e.Dirneonlrsegieneedts delaconstanteetpr´eciserlaparit´edesentiersα. A-II.3.iiEnd´eduirequePmedeasomr´esscarseltednˆlyesomdedepouxR[X]. A-II.3.iiiDonnerunecaracte´risationdel’ensembleP(R,R+). A - III.rpeuoallbsaavseptet’neden´ec´onprsatiire´tcaracaLP(Q,Q+). A - III. 1.Montrer queP(Q,Q+) est contenu dansP(R,R+). 2 A-III.2.iDonnerdeuxd´ecompositionsdupolynoˆme2Xeuxsndee4d+solaedmmcaes´err polynˆomesdeR[X]. A - III. 2. iiSoienta,b,c,dd’onait:leuqsletslee´rse 2 2 2 2X+ 4 = (aX+b) +(cX+d) . Montrer que la matrice ! a b √ 2 2 c d √ 2 2 posse`deuneproprie´t´eremarquablea`pr´eciser.Ende´duirequelesr´eelsa,b,c,dne peuvent pastousˆetredansQ. 2 A-III.2.iiiLepolynˆome2X´xuededse´rracseedmmsolareetlˆ-i+4peutsdementel´eQ[X] ? ´ B.Etude deP(Z,Z) Pour tout entier natureln, on note Γnlap:rmed´efiniepolynˆo X(X−1). . .(X−n+ 1) Γ0(Xet, pour) = 1n >0, Γn(X.) = n! B - I. 1.Montrer que, pour toutnle,lypoΓeˆnmonitneppraat`aP(Z,Z). (Pourkedtneme´le´Z, on distinguera selon que 06k < n,k>netk <0.) B - I. 2.Montrer que, pour tout entier naturelm, la famille (Γn)06n6mforme une base de l’espace vectorielr´eelRm[X]. SoitPleem´en´eudtnRm[XnO.]cr´e:it P P=dnΓnavecd0, d1, . . . , dm∈R. 06n6m B-II.Ecrire,a`l’aidedesvaleurs(P(n))06n6milleafamontlired´naeemiltse`nuys,(dn)06n6mest solu-tion.Calculerled´eterminantdecesyste`me. B-III.Montrerquelesquatreassertionssuivantessont´equivalentes: (i)P∈ P(Z,Z) (ii)d0, d1, . . . , dm∈Z (iii)P(0), P(1), . . . , P(m)∈Z (iv) ilexistemcetufiesrecsno´sslesvalenlesqueldsruetien+1Psont des entiers. 5 4 32 B - IV. 1.Dans cette question,m= 5 etP(X) =X−15X+ 85X−225X+ 274X−120. 5 P De´terminerlesentiers(dn)06n65tels queP=dnΓn. Montrer quePstsednicuse´rQ. n=0 B - IV. 2.Pourm >mieretd´e,irraitbra0omelynˆudopresose´zenlr m P n P= (−1) Γn. n=0 Ende´duirelad´ecompositiondePsuesbltirirr´educlynˆomesudtiedopepnorQ. ExprimerP a`l’aideduseulpolynˆomeΓm. ´ C -Etude deP(E,Z(p)) Dans toute cette partie,pe´.dise´uengnnombrepremierfix