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E3A 2005 mathematiques a classe prepa mp

3 pages
77µe3aConcours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE¶Epreuve de Math¶ematiques A MPdur¶ee 4 heuresL'usage de la calculatrice n'est pas autoris¶e.Si,aucoursde l'¶epreuve, uncandidatrepµerece quiluisemble^etre uneerreurd'¶enonc¶e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesraisonsdesinitiativesqu'ilest amene¶ aµprendre.ProbleµmePartie ISoit I un intervalle non r¶eduit aµ un point de R. On considµere l'¶equation di®¶erentielle sur I :00y + y = 0 (E )0© ª21. Montrer que l'ensemble des solutions de ( E ) sur I est x ! Acos x + Bsin x j (A;B) 2 R .0On suppose pour que les questions 2 et 3 que I est un intervalle de R non majore¶. ¡ ¢2n+12. Soit g une solution de (E ) sur l'intervalle I. Que peut-on dire des suites (g(n¼)) et g( ¼) ?0 n2N 2 n2N3. Soit g une solution de ( E ). On suppose que g(x) tend vers une limite ¯nie lorsque x tend vers +1. Montrer que g est0la fonction nulle.Partie II1 1Dans cette partie, on note C (R) le R-espace vectoriel des fonctions de classe C sur R et aµ valeurs r¶eelles.4On note C = fe ;e ;e ;e g la base canonique de R :1 2 3 4e = (1;0;0;0); e = (0;1;0;0); e = (0;0;1;0); e = (0;0;0;1):1 2 3 44Soit v = (a;b;c;d) dans R . On note h l'application d¶e¯nie sur R par :vh : x ! (ax + b)cos x + (cx + d)sin x:v4On note V l'ensemble des applications h lorsque v parcourt R .v11. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C (R).42. De¶montrer que l'application qui envoie le vecteur v sur l'application h d¶e¯nit un ...
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` e3a ConcoursENSAM ESTP EUCLIDE ARCHIMEDE ´ Epreuve de Math´ematiques AMP dur´ee4heures
Lusagedelacalculatricenestpasautoris´e.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurde´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quilestamen´e`aprendre.
Probl`eme Partie I SoitIlleirusee´itnerde´rnonepnua`tiuniullvaerntle´e`eroidnuqtade.ointnsidOncoI: R 00+y=0 y)0 ( E 2 1. Montrerque l’ensembledes solutions de (0) surIestx Acosx+Bsinx(A, B) . R E →| ∈ ©Rª On suppose pour queles questions 2 et 3 queIe.r´jouninestlaeletvrnoamedn 2n+1 2. Soitgune solution de (0) sur l’intervalleIdire des suites (. Que peutong()) etg(π) ? E∈ ∈N n2 Nn 3. Soitgune solution de (0). On suppose queg(xnie lorsque) tend vers une limitexten¡d vers +¢. Montrerquegest E ∞ la fonction nulle.
Partie II Dans cette partie, on notevectoriel des fonctions de classele espace( ).selusr`aetlevasrurel´e R RR C4C On note=e1, e2, e3, e4la base canonique de: R C {} e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e4= (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On notehvontied´ppacalira:linserup R R hv:x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationshvlorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel( ). R C 4 2.De´montrerquelapplicationquienvoielevecteurvsur l’applicationhveenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duirequee1e2e3e4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih0v0+hv(x). Onnoteψ(hv) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdelB deψ. 4.Onconside`rel´equationdie´rentiellesur: R y00+y= cosx(1) E R´esoudrele´quationdie´rentielle()sur. R 1 E
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