Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd’e´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.
Partie II Dans cette partie, on note∞vectoriel des fonctions de classele espace( )∞.selusr`aetlevasrurel´e R RR C4C On note=e1, e2, e3, e4la base canonique de: R C {} e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e4= (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On notehvontied´pp’acalira:linserup R R hv:x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationshvlorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel∞( ). R C 4 2.De´montrerquel’applicationquienvoielevecteurvsur l’applicationhveenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duirequee1e2e3e4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih0v0+hv(x). Onnoteψ(hv) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdel’ B deψ. 4.Onconside`rel’´equationdiffe´rentiellesur: R y00+y= cosx(1) E R´esoudrel’e´quationdiffe´rentielle()sur. R 1 E