E3A 2005 mathematiques a classe prepa mp

77µe3aConcours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE¶Epreuve de Math¶ematiques A MPdur¶ee 4 heuresL'usage de la calculatrice n'est pas autoris¶e.Si,aucoursde l'¶epreuve, uncandidatrepµerece quiluisemble^etre uneerreurd'¶enonc¶e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenindiquantlesraisonsdesinitiativesqu'ilest amene¶ aµprendre.ProbleµmePartie ISoit I un intervalle non r¶eduit aµ un point de R. On considµere l'¶equation di®¶erentielle sur I :00y + y = 0 (E )0© ª21. Montrer que l'ensemble des solutions de ( E ) sur I est x ! Acos x + Bsin x j (A;B) 2 R .0On suppose pour que les questions 2 et 3 que I est un intervalle de R non majore¶. ¡ ¢2n+12. Soit g une solution de (E ) sur l'intervalle I. Que peut-on dire des suites (g(n¼)) et g( ¼) ?0 n2N 2 n2N3. Soit g une solution de ( E ). On suppose que g(x) tend vers une limite ¯nie lorsque x tend vers +1. Montrer que g est0la fonction nulle.Partie II1 1Dans cette partie, on note C (R) le R-espace vectoriel des fonctions de classe C sur R et aµ valeurs r¶eelles.4On note C = fe ;e ;e ;e g la base canonique de R :1 2 3 4e = (1;0;0;0); e = (0;1;0;0); e = (0;0;1;0); e = (0;0;0;1):1 2 3 44Soit v = (a;b;c;d) dans R . On note h l'application d¶e¯nie sur R par :vh : x ! (ax + b)cos x + (cx + d)sin x:v4On note V l'ensemble des applications h lorsque v parcourt R .v11. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C (R).42. De¶montrer que l'application qui envoie le vecteur v sur l'application h d¶e¯nit un ...