Ecricome 2001 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOMEBanque d’´epreuves ´ecrites communes aux concours des EcolesESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN NancyCONCOURS D’ADMISSION 2001Option ´economique´MATHEMATIQUESMardi 24 avril 2001 de 8h 00 a` 12h 00Dur´ee : 4 heuresAucun instrument de calcul n’est autoris´e.A document n’est autoris´e.Les candidats sont invit´es a` soigner la pr´esentation de leur copie, `a mettre en ´evidence les prin-cipaux r´esultats, `a respecter les notations de l’´enonc´e, et a` donner des d´emonstrations compl`etes(mais br`eves) de leurs affirmations.1. EXERCICE.Dans cet exercice on ´etudie l’´evolution au cours du temps d’un titre dans une bourse de valeurs.1.1. Le but de la premi`ere partie est de calculer les puissances successives de la matrice : 1−2a a a M(a) = a 1−2a aa a 1−2aou` a repr´esente un nombre r´eel.1. Montrer que, pour tous r´eels a, b, on a : M(a).M(b) =M(a+b−3ab).2. En d´eduire les valeurs de a pour lesquelles la matrice M(a) est inversible et exprimer son inverse.3. Justifier le fait que M(a) est diagonalisable.4. D´eterminer le r´eel a non nul, tel que :02[M(a )] =M(a )0 05. On consid`ere les matrices :P =M(a ) et Q =I−P0ou` I d´esigne la matrice carr´ee unit´e d’ordre 3.1(a) Montrer qu’il existe un r´eel α, que l’on exprimera en fonction de a, tel que :M(a) =P +αQ2 2(b) Calculer P , QP, PQ, Q .n(c) Pour tout entier naturel n, non nul, montrer que [M(a)] s’´ecrit comme combinaison lin´eaire de Pet Q.n(d) ...

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ECRICOME Banqued’´epreuvese´critescommunesauxconcoursdesEcoles ESC Bordeaux, ESC Marseille-Provence ESC Reims, ESC Rouen, ICN Nancy

CONCOURS D’ADMISSION 2001

Option´economique ´ MATHEMATIQUES Mardi24avril2001de8h00`a12h00 Dur´ee:4heures

Aucuninstrumentdecalculn’estautorise´. Aucundocumentn’estautorise´.

Lescandidatssontinvit´esa`soignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreen´evidencelesprin- cipauxre´sultats,a`respecterlesnotationsdel’´enonc´e,eta`donnerdesd´emonstrationscomple`tes (maisbre`ves)deleursaffirmations.

1. EXERCICE. Danscetexerciceon´etudiel’e´volutionaucoursdutempsd’untitredansuneboursedevaleurs. 1.1.Lebutdelapremie`repartieestdecalculerlespuissancessuccessivesdelamatrice:   1−2a aa   M(a) = a1−2a a a a1−2a ou`aree´le.uennmorbntse´eprre 1.Montrerque,pourtousre´elsa,b, on a :M(a).M(b) =M(a+b−3ab). 2.End´eduirelesvaleursdeapour lesquelles la matriceM(a) est inversible et exprimer son inverse. 3. Justifierle fait queM(a) est diagonalisable. 4.De´terminerler´eela 0 non nul, tel que : 2 [M(a 0 )] =M(a 0 )

5.Onconside`relesmatrices: P=M(a 0 ) etQ=I−P o`uIer3´.eeunit´terdi’coercdarrgienalam´dse

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