EDHEC 2005 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EDHEC 2005Option ´economiqueExercice 1 1 0 0 1 0 0 0 0On note J = , J = , J = ,et J = , et on rappelle que la1 2 3 40 0 0 0 1 0 1 0famille(J ,J ,J ,J ) est une base deM (R).1 2 3 4 2 a bSoit f l’application qui, a` toute matrice M = deM (R), associe f (M) =M +(a+d)I2c d 1 0ou` I d´esigne la matrice0 11. Montrer que f est un endomorphisme deM (R).22. a) Exprimer f (J ), f (J ), f (J ), et f (J ) comme combinaisons lin´eaires de J , J , J et1 2 3 4 1 2 3J .4 2 0 0 1 0 1 0 0 b) V´erifier que la matrice A de f dans la base (J ,J ,J ,J ) est A =1 2 3 4  0 0 1 01 0 0 2c) Justifier que f est diagonalisable.3. a) Montrer que (J −J ,J ,J ,I) est une base deM (R)1 4 2 3 2´b) Ecrire la matrice D de f dans cette base.−1c) En d´eduire l’existence d’une matrice P inversible telle que A =P DP−14. a) D´eterminer la matrice P .n n −1b) Montrer que, pour tout n deN, A =P D Pnc) En d´eduire explicitement la matrice A .Exercice 22x y +12 2 ( )Soit f la fonction d´efinie surR par : ∀(x,y)∈R , f (x,y) =xe2 21. Justifier que f est de classe C surR .2. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres de fb) En d´eduire que le seul point en lequel f est susceptible de pr´esenter un extremum localest A = (−1,0).3. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles secondes de f.b) Montrer qu’effectivement, f pr´esente un extremum local en A. En pr´eciser la nature et lavaleur.2 x4. a) Montrer que: ∀(x,y)∈R , f (x,y)≥xe .xb) En ´etudiant la ...

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EDHEC 2005 Optione´conomique

Exercice 1      1 00 10 00 0 On noteJ 1 =, J 2 =, J 3 =,etJ 4 =,et on rappelle que la 0 00 01 01 0 famille(J 1 , J 2 , J 3 , J 4 ) est une base deM 2 (R).   a b Soitfrtamecita`,etuoationquil’applicM= deM 2 (R),associef(M) =M+ (a+d)I c d   1 0 o`uIecirtamagnel´esid 0 1 1. Montrerquefest un endomorphisme deM 2 (R). 2. a)Exprimerf(J 1 ), f(J 2 ), f(J 3 ),etf(J 4 edseria)ocmmceisnabiom´einslonJ 1 , J 2 , J 3 et J 4 .   2 0 0 1 0 1 0 0   b)V´erifierquelamatriceAdefdans la base (J 1 , J 2 , J 3 , J 4 ) estA=   0 0 1 0 1 0 0 2 c) Justifierquefest diagonalisable. 3. a)Montrer que (J 1 −J 4 , J 2 , J 3 , I) est une base deM 2 (R) ´ b) Ecrirela matriceDdefdans cette base. −1 c)Ende´duirel’existenced’unematricePinversible telle queA=PP D −1 4.a)D´eterminerlamatriceP. n n−1 b) Montrerque, pour toutndeN,A=P DP n c)Ende´duireexplicitementlamatriceA.

Exercice 2 2 ( ) 2 2 x y+1 Soitfeinfirusctiond´elafonRpar :∀(x, y)∈R, f(x, y) =x e 2 2 1. Justifierquefest de classeCsurR. 2.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellespremi`eresdef b)End´eduirequeleseulpointenlequelfseaclmuolemtrexunerntse´erpedelbitpecsust estA= (−1,0). 3.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellessecondesdef. b) Montrerqu’effectivement,funextrempr´esentenmuolacelAtunaetreiseclaerE.pn´ral valeur. 2x 4. a)Montrer que:∀(x, y)∈R, f(x, y)≥x e. x b)Ene´tudiantlafonctiongruseinfie´dRparg(x) =,x eortme´vuoccnlurequel’extremu 2 a`laquestion2b)estunextremumglobaldefsurR.

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