EDHEC 2005 mathematiques classe prepa hec (ece)

EDHEC 2005Option ´economiqueExercice 1 1 0 0 1 0 0 0 0On note J = , J = , J = ,et J = , et on rappelle que la1 2 3 40 0 0 0 1 0 1 0famille(J ,J ,J ,J ) est une base deM (R).1 2 3 4 2 a bSoit f l’application qui, a` toute matrice M = deM (R), associe f (M) =M +(a+d)I2c d 1 0ou` I d´esigne la matrice0 11. Montrer que f est un endomorphisme deM (R).22. a) Exprimer f (J ), f (J ), f (J ), et f (J ) comme combinaisons lin´eaires de J , J , J et1 2 3 4 1 2 3J .4 2 0 0 1 0 1 0 0 b) V´erifier que la matrice A de f dans la base (J ,J ,J ,J ) est A =1 2 3 4  0 0 1 01 0 0 2c) Justifier que f est diagonalisable.3. a) Montrer que (J −J ,J ,J ,I) est une base deM (R)1 4 2 3 2´b) Ecrire la matrice D de f dans cette base.−1c) En d´eduire l’existence d’une matrice P inversible telle que A =P DP−14. a) D´eterminer la matrice P .n n −1b) Montrer que, pour tout n deN, A =P D Pnc) En d´eduire explicitement la matrice A .Exercice 22x y +12 2 ( )Soit f la fonction d´efinie surR par : ∀(x,y)∈R , f (x,y) =xe2 21. Justifier que f est de classe C surR .2. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres de fb) En d´eduire que le seul point en lequel f est susceptible de pr´esenter un extremum localest A = (−1,0).3. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles secondes de f.b) Montrer qu’effectivement, f pr´esente un extremum local en A. En pr´eciser la nature et lavaleur.2 x4. a) Montrer que: ∀(x,y)∈R , f (x,y)≥xe .xb) En ´etudiant la ...