EML 2005 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2005MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option scienti…que)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite.Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Premier problŁme.On considŁre la suite (T ) de polyn mes de R[X] dØ…nie par :n n2NT = 1; T = 2X et, pour tout entier n> 2; T = 2XT T :0 1 n n 1 n 2On pourra confondre polyn me et fonction polynomiale. Ainsi, pour tout entier n> 2 et tout rØel x,T (x) = 2xT (x) T (x):n n 1 n 2PARTIE I : Etude de la suite de polynômes (T )n n2N1. Calculer T et T .2 32. (a) DØmontrer que, pour tout entier naturel n, T est un polyn me de degrØ n dont on dØterminera lencoe¢ cient du terme de degrØ n.(b) Etablir que, si n est un entier pair (resp. impair), alors T est un polyn me pair (resp. impair).n3. Calculer, pour tout entier naturel n, T (1) en fonction de n.nsin(n+1)4. (a) Etablir, pour tout entier naturel n et tout rØel de ]0;[ : T (cos) = .nsin(b) En dØduire que, pour tout entier naturel non nul n, T admet n racines rØelles, toutes situØes dansn] 1;1[, que l’on explicitera. nQ kn(c) Etablir, pour tout entier naturel non nul n : T = 2 X cos .nn+1k=1nQ k(d) En dØduire, pour tout entier naturel non nul n, la valeur de sin en fonction de n.2(n+1)k=15. (a) DØmontrer, pour tout entier naturel n et tout rØel de ]0;[ :2 00 0 2sin T (cos) 3cosT (cos)+(n +2n)T (cos) ...

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Programme ESC dE.M.LYON

CONCOURS DENTREE 2005

MATHEMATIQUES 1ère épreuve (option scientique)

Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Premier problème. On considère la suite(T n ) n2N de polynômes deR[X]dénie par : T 0 = 1; T 1 = 2Xet, pour tout entiern>2; T n = 2XT n1 T n2 : On pourra confondre polynôme et fonction polynomiale.Ainsi, pour tout entiern>2et tout réelx, T n (x) = 2xT n1 (x)T n2 (x):

PARTIE I : Etude de la suite de polynômes(T n ) n2N 1. CalculerT 2 etT 3 . 2. (a)Démontrer que, pour tout entier natureln,T n est un polynôme de degréndont on déterminera le coe¢ cient du terme de degrén. (b) Etablirque, sinimpair), alorsest un entier pair (resp.T n impair).est un polynôme pair (resp. 3. Calculer,pour tout entier natureln,T n (1)en fonction den. sin(n+ 1) 4. (a)Etablir, pour tout entier naturel n et tout réelde]0; [:T n (cos) =. sin (b) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln,T n admet n racines réelles, toutes situées dans ]1;1[, que lon explicitera.   n Q k n (c) Etablir,pour tout entier naturel non nuln:T n = 2Xcos. n+ 1 k=1 n Q k (d) Endéduire, pour tout entier naturel non nul n, la valeur desinen fonction den. 2 (n+ 1) k=1 5. (a)Démontrer, pour tout entier naturel n et tout réelde]0; [: 200 02 sin T(cos)3 cos T(cos) + (n+ 2n)T n (cos) = 0: n n Indication: Onpourra dériver deux fois la fonction (nulle):7!sin T n (cos)sin(n+ 1): 200 02 (b) Endéduire, pour tout entier natureln:(X1)T+ 3XT n n (n+ 2n)T n = 0. Dans la suite du problème,ndésigne un entier naturel xé tel quen>2, et on noteElespace vectoriel réel des polynômes deR[X]de degré inférieur ou égal àn. On noteLlapplication qui, à un polynômePdeE, associe le polynômeL(P)déni par : 200 0 L(P) = (X1)P+ 3XP :

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