EML 2005 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2005MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option scienti…que)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite.Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Premier problŁme.On considŁre la suite (T ) de polyn mes de R[X] dØ…nie par :n n2NT = 1; T = 2X et, pour tout entier n> 2; T = 2XT T :0 1 n n 1 n 2On pourra confondre polyn me et fonction polynomiale. Ainsi, pour tout entier n> 2 et tout rØel x,T (x) = 2xT (x) T (x):n n 1 n 2PARTIE I : Etude de la suite de polynômes (T )n n2N1. Calculer T et T .2 32. (a) DØmontrer que, pour tout entier naturel n, T est un polyn me de degrØ n dont on dØterminera lencoe¢ cient du terme de degrØ n.(b) Etablir que, si n est un entier pair (resp. impair), alors T est un polyn me pair (resp. impair).n3. Calculer, pour tout entier naturel n, T (1) en fonction de n.nsin(n+1)4. (a) Etablir, pour tout entier naturel n et tout rØel de ]0;[ : T (cos) = .nsin(b) En dØduire que, pour tout entier naturel non nul n, T admet n racines rØelles, toutes situØes dansn] 1;1[, que l’on explicitera. nQ kn(c) Etablir, pour tout entier naturel non nul n : T = 2 X cos .nn+1k=1nQ k(d) En dØduire, pour tout entier naturel non nul n, la valeur de sin en fonction de n.2(n+1)k=15. (a) DØmontrer, pour tout entier naturel n et tout rØel de ]0;[ :2 00 0 2sin T (cos) 3cosT (cos)+(n +2n)T (cos) ...