ENAC 2004 icna epreuve optionnelle classe prepa mp

Description

La calculatrice est autorisee.Questions liees : 1 a 7; 8 a 27; 28 a 32; 33 a 40PARTIE In etant un entier naturel et a un nombre reel non nul on pose :Z Z ax axu = e cosnx dx et v = e sinnx dxn n0 01 - u veri e pour tout n∈N :n1 axu = [e sinnx] pour n> 0n 0ana) et1 a u = (e 1)0ah i 21 n naxb) u = e cosnx sinax + un n2a a a01 axc) u = [e (acosnx+nsinnx)]n 02 2n +a1n a d) u = (( 1) e a a)n 2 2n a2 - v satisfait pour tout n∈N :n1 axa) v = [ e cosnx]n 0anh i 21 n naxb) v = e cosnx+sinnx vn n2a a 0 a1 axc) v = [e (ncosnx asinnx)]n 02 2n a1 n+1 a d) v = ( 1) ne +nn 2 2n +a3 - La valeur absolue de u est pour tout n∈N majoreee par :na |a| |a|(1+e )a) b)2 2 2 2n +a |n a |et celle de v est majoree par :na a n(1 e ) 1+ec) d)2 2a +n an4 - La suite (v ), k∈N , est equivalente a la suite de terme general :2ka 1 1+e 1 1a a) (1 e ) b) c) d)2k k 2k k5 - a) Les suites (u ) et (v ) ne peuvent ˆetre convergentes car elles ne sont pas de signen nconstant.b) Les suites (u ) et (v ) convergent car toute suite majoree est convergente.n nc) La suite (u ) converge vers 0nd) La suite (u ) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limitenP POn note u (respectivement v ) la serie numerique de terme general u (respectivementn n nv )nP6 - a) La serie v converge car lim v = 02k 2kk→+∞a P P (1 e )b) La serie v est de mˆeme nature que la serie convergente2k2kPc) Laserie v diverge ...

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Extrait

Lacalculatriceestautoris´ee. Questionsli´ees:1`a7;8`a27;28a`32;33`a40 PARTIE I netel´etentnnauttarueinrannu´eerbromlunnonle:esopno Z Z π π ax ax u n =ecosnxdxetv n =esinnxdx 0 0 1 -u n efiirruoputtoe´vn∈N: 1 π ax u n = [esinnx] pourn >0 0 an a) et 1 aπ u 0 = (e−1) a h i 2 π 1n n ax b)u n =ecosnx−sinax+u n 2 a a 0 a 1 π ax c)u n = [e(acosnx+nsinnx)] 0 2 2 n+a 1 n aπ d)u n = ((−1)e a−a) 2 2 n−a ∗ 2 -v n satisfait pour toutn∈N: 1 π ax a)v n = [−ecosnx] 0 an h i 2 π 1n n ax b)v n =e−cosnx+ sinnx−v n 2 a a 0 a 1 π ax c)v n = [e(ncosnx−asinnx)] 0 2 2 n−a   1 n+1aπ d)v n = (−1)ne+n 2 2 n+a 3 -La valeur absolue deu n est pour toutn∈N:eparr´eemajo aπ |a| |a|(1 +e) a) b) 2 22 2 n+a|n−a| et celle dev n ste:rapeer´joma aπ aπ n(1−e+) 1e c) d) 2 2 a+n an ∗ 4 -La suite (v 2k ),k∈Nt´esuieqlevae`ntsalaetiuetedgemr:relae´´n, aπ 1 1+e1 1 aπ a) (1−ec) d)) b) 2k k2k k 5 -suites (a) Lesu n ) et (v n isedengnosesaptep)nrtcenoevueevtneˆarellesnrgentesc constant. b) Lessuites (u n ) et (v n grnenoevet.majouiteestcr´eectnegrevsetuotraon)c c) Lasuite (u n ) converge vers 0 d) Lasuite (u n ) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limite P P On noteu n (respectivementv n eg´etermuedeeriqun´mreeial´s)re´nlau n (respectivement v n ) P 6 -Laa)´sreeiv 2k converge carlimv 2k = 0 k→+∞ aπ P P (1−e) b)Las´eriev 2k enetaruqetsedˆmmecoieernvlaueers´tnege 2k P c)Las´eriev n diveem’dsemoocmmgr,egeerivedri´eesuneire´senu’dteetnocvnreegtn.e

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