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ENAC 2004 icna epreuve optionnelle classe prepa mp

7 pages
La calculatrice est autorisee.Questions liees : 1 a 7; 8 a 27; 28 a 32; 33 a 40PARTIE In etant un entier naturel et a un nombre reel non nul on pose :Z Z ax axu = e cosnx dx et v = e sinnx dxn n0 01 - u veri e pour tout n∈N :n1 axu = [e sinnx] pour n> 0n 0ana) et1 a u = (e 1)0ah i 21 n naxb) u = e cosnx sinax + un n2a a a01 axc) u = [e (acosnx+nsinnx)]n 02 2n +a1n a d) u = (( 1) e a a)n 2 2n a2 - v satisfait pour tout n∈N :n1 axa) v = [ e cosnx]n 0anh i 21 n naxb) v = e cosnx+sinnx vn n2a a 0 a1 axc) v = [e (ncosnx asinnx)]n 02 2n a1 n+1 a d) v = ( 1) ne +nn 2 2n +a3 - La valeur absolue de u est pour tout n∈N majoreee par :na |a| |a|(1+e )a) b)2 2 2 2n +a |n a |et celle de v est majoree par :na a n(1 e ) 1+ec) d)2 2a +n an4 - La suite (v ), k∈N , est equivalente a la suite de terme general :2ka 1 1+e 1 1a a) (1 e ) b) c) d)2k k 2k k5 - a) Les suites (u ) et (v ) ne peuvent ˆetre convergentes car elles ne sont pas de signen nconstant.b) Les suites (u ) et (v ) convergent car toute suite majoree est convergente.n nc) La suite (u ) converge vers 0nd) La suite (u ) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limitenP POn note u (respectivement v ) la serie numerique de terme general u (respectivementn n nv )nP6 - a) La serie v converge car lim v = 02k 2kk→+∞a P P (1 e )b) La serie v est de mˆeme nature que la serie convergente2k2kPc) Laserie v diverge ...
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Lacalculatriceestautoris´ee. Questionsli´ees:1`a7;8`a27;28a`32;33`a40 PARTIE I netel´etentnnauttarueinrannu´eerbromlunnonle:esopno Z Z π π ax ax un=ecosnxdxetvn=esinnxdx 0 0 1 -uneirruoputtoe´vnN: 1 π ax un= [esinnx] pourn >0 0 an a) et 1 u0= (e1) a h i2 π 1n n ax b)un=ecosnxsinax+un 2 a a0a 1 π ax c)un= [e(acosnx+nsinnx)] 0 2 2 n+a 1 n aπ d)un= ((1)e aa) 2 2 na 2 -vnsatisfait pour toutnN: 1 π ax a)vn= [ecosnx] 0 an h i2 π 1n n ax b)vn=ecosnx+ sinnxvn 2 a a0a 1 π ax c)vn= [e(ncosnxasinnx)] 0 2 2 na   1 n+1d)vn= (1)ne+n 2 2 n+a 3 -La valeur absolue deunest pour toutnN:eparr´eemajo |a| |a|(1 +e) a) b) 2 22 2 n+a|na| et celle devnste:rapeer´joma aπ aπ n(1e+) 1e c) d) 2 2 a+n an 4 -La suite (v2k),kNt´esuieqlevae`ntsalaetiuetedgemr:relae´´n, 1 1+e1 1 a) (1ec) d)) b) 2k k2k k 5 -suites (a) Lesun) et (vnisedengnosesaptep)nrtcenoevueevtneˆarellesnrgentesc constant. b) Lessuites (un) et (vngrnenoevet.majouiteestcr´eectnegrevsetuotraon)c c) Lasuite (un) converge vers 0 d) Lasuite (un) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limite P P On noteun(respectivementvneg´etermuedeeriqun´mreeial´s)re´nlaun(respectivement vn) P 6 -Laa)´sreeiv2kconverge carlimv2k= 0 k+P P(1e) b)Las´eriev2kenetaruqetsedˆmmecoieernvlaueers´tnege 2k P c)Las´erievndiveemdsemoocmmgr,egeerivedri´eesuneire´senudteetnocvnreegtn.e
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