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ENSAE
CONCOURS DENTREE 2000
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
La clarté et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualité de la rédaction (présentation, lisibilité, orthographe) seront des éléments importants dappréciation des copies. Il est notamment demandé aux candidats dencadrer les résultats obtenus et de faire apparaître clairement les théorèmes utilisés et les points clés de leurs réponses. En particulier pour les questions dont lénoncé fournit la réponse, le détail des calculs ou des justications doit gurer explicitement sur la copie.
PROBLEME I
Mn(R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées de taille2à coe¢ cients réels. 1. (a) Montrer que lensemble aC=fM(a; b) =abb;(a; b)2R2g
2.
(b)
est un sous-espace vectoriel deM2(R): Préciser sa dimension et en donner une base.
On considère lapplication
C! C  :z=a+ib7!M(a; b) =baabaetbdésigne respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre complexez: Montrer que, pour tous nombres complexeszetz0deC;on a (z+z0) = (z) + (z0) (zz0) = (z)(z0)
En déduire que (8z2C)(8p2N) (zp) = ((z))p (c) Lapplicationest-elle un isomorphisme despaces vectoriels ?
(a) Soit2[0;2[etAla matrice A=cossnisosnicPourk2N;calculerAk:Le résultat est-il encore valide pourk2Z? (b) Soitp2N:Déterminer une matriceM2M2(R)telle que Mp=J;J=2020
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