ENSAE 2000 mathematiques classe prepa b/l

Description

ENSAECONCOURS D’ENTREE 2000MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)La clartØ et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualitØ de la rØdaction (prØsentation, lisibilitØ, orthographe) serontdes ØlØments importants d apprØciation des copies.Il est notamment demandØ aux candidats d’encadrer les rØsultats obtenus et de faire appara tre clairement les thØorŁmesutilisØs et les points clØs de leurs rØponses. En particulier pour les questions dont l ØnoncØ fournit la rØponse, le dØtail descalculs ou des justi…cations doit …gurer explicitement sur la copie.PROBLEMEIM (R) dØsigne l’espace vectoriel des matrices carrØes de taille 2 à coe¢ cients rØels.n1. (a) Montrer que l ensemble a b 2C =fM(a;b) = ; (a;b)2R gb aest un sous-espace vectoriel deM (R):2PrØciser sa dimension et en donner une base.On considŁre l applicationC ! C : a bz =a+ib 7! M(a;b) =b aoø a et b dØsigne respectivement les parties rØelle et imaginaire du nombre complexe z:0(b) Montrer que, pour tous nombres complexes z et z deC; on a0 0 ( z +z ) = ( z)+ ( z )0 0 ( zz ) = ( z) ( z )En dØduire quep p(8z 2C)(8p2N) (z ) = ( ( z))(c) L application est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels ?2. (a) Soit 2 [0;2[ et A la matrice cos sinA =sin coskPour k2N; calculer A : Le rØsultat est-il encore valide pour k2Z ?(b) Soit p2N : DØterminer une matrice M 2M (R) telle que2 2 0pM =J; oø J =0 21/33. On considŁre apl plicationR[X] ! R[X]f : 2 00 0P(X) 7! ...

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Extrait

ENSAE

CONCOURS DENTREE 2000

MATHEMATIQUES

1ère épreuve (option économique)

La clarté et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualité de la rédaction (présentation, lisibilité, orthographe) seront des éléments importants dappréciation des copies. Il est notamment demandé aux candidats dencadrer les résultats obtenus et de faire apparaître clairement les théorèmes utilisés et les points clés de leurs réponses. En particulier pour les questions dont lénoncé fournit la réponse, le détail des calculs ou des justications doit gurer explicitement sur la copie.

PROBLEME I

M n (R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées de taille2à coe¢ cients réels. 1. (a) Montrer que lensemble a C=fM(a; b) =  a b b  ;(a; b)2R 2 g

2.

(b)

est un sous-espace vectoriel deM 2 (R): Préciser sa dimension et en donner une base.

On considère lapplication

C! C  : z=a+ib7!M(a; b) =  b a a b  oùaetbdésigne respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre complexez: Montrer que, pour tous nombres complexeszetz 0 deC;on a (z+z 0 ) = (z) + (z 0 ) (zz 0 ) = (z)(z 0 )

En déduire que (8z2C)(8p2N) (z p ) = ((z)) p (c) Lapplicationest-elle un isomorphisme despaces vectoriels ?

(a) Soit2[0;2[etAla matrice A=  cos sni    so sni c   Pourk2N;calculerA k :Le résultat est-il encore valide pourk2Z? (b) Soitp2N  :Déterminer une matriceM2M 2 (R)telle que M p =J;oùJ=  2 02 0 

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