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(a)
3. On considère dans ce paragraphe la fonctionhdéfinie surIRde la manière suivante : a
a d Justifier l'existence de l'intégraleò0fa(x)x notée ,Ia. Déterminer deux constantesa etb : telles que"xÎ[ 0 ;a11],+-xx En déduire queI1=2 ln 2-1.
Montrer grâce au changement de variablex=auqueIa=I1.
 On noteXune vh. aariable aléatoire réelle admettant une densité égale àa On noteH de rla f    a de la variableonction épartitionXa.  (b)
Calculer l'espéranceE(a+Xa) . En déduire l'espéranceE(Xa) .
ïíìsixÎ[ 0 ;a] ,h(x)=212nl-1f(x) a a  x a h x ïîsiÏ[ 0 ; ] ,a( )=0
Montrer queha est une densité de probabilité.
Calculer l'espéranceE((a+Xa)2) . En déduireE(Xa2) puis la varianceV(Xa) .
Soit la variable aléatoire à densitéT définie parT=1Xa. a Montrer que pour tout réelt de [ 0 ; 1 ] :P(T£t)=H(at) . a
(c)
 1.
 
(d)
(b)
 
 
(c)
 
 
 
(c)
En déduire queTsuit la même loi queX1.
= a +1b . +x
Montrer quefaréalise une bijection de [ 0 ;a 1] sur [ 0 ;a] . On notefa-1sa bijection réciproque. Donner le tableau des-récisant variations defa1 lesen p valeurs aux bornes.
Montrer quefa-1=f1. a
(a)
(b)
EXERCICE 1
On pose poura réel strictement positif la fonctionfa définie sur [ 0 ;a :] par  Pour toutxÎ[ 0 ;a] ,fa(x)=a(aa-+xx) .
Justifier la dérivabilité defa 0 ;sur [a calculer sa dérivée.] et
En déduire le tableau des variations defaen précisant les valeurs aux bornes.
(a)
 
2.