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Esc 2003 mathematiques classe prepa hec (eco) mathematiques 2003 classe prepa hec (eco)

4 pages
a10aaaaaa12. aaahaaa0ah1a0a2aaa1aaa111aa10a .a2aua1. 1a20a10120. En déduire a01aa22ahah1aaa001aa101aaahaaEXERCICE 1 On pose pour f [ ] par : - ˛ [ ] , f ( ) = . ( + ) f [ ] et calculer sa dérivée. f f [ ] [ ] . - note f sa bijection réciproque. -f - f = f . intégrale f ( ) , notée I . b- Déterminer deux constantes a b " ˛ [ ] , = a + + + En déduire que I = - . = que I = I . définie sur I R ì ˛ [ ] , ( ) = f ( )ï - íˇ [ ] , ( ) =ïî X une variable aléatoire réelle admettant une densité égale à . X . spérance E ( + X ) E ( X ) . E (( + X ) ) E ( X ) puis la variance ( X ) . Soit la variable aléatoire à densité T T = X t [ ] : ( T £ t ) = ( at ) . En déduire que T X . suit la même loi que H P ; de Montrer que pour tout réel . définie par (d)V Calculer l'espérance (c). En déduire l'espérance Calculer l'e (b) la fonction de répartition de la variable H On note On note probabilité. est une densité de Montrer que (a)x ; x silnx x ; x si de la manière suivante : 3. On considère dans ce paragraphe la fonction x Montrer grâce au changement de variable (c)lnx x; x telles que : et (b)xòdx x Justifier l'existence de l' (a)Montrer que (c) en précisant les valeurs aux bornes. Donner le tableau des variations de On; sur ; réalise une bijection de Montrer que (b) en précisant les valeurs aux ...
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(a)
3. On considère dans ce paragraphe la fonctionhdéfinie surIRde la manière suivante : a
a d Justifier l'existence de l'intégraleò0fa(x)x notée ,Ia. Déterminer deux constantesa etb : telles que"xÎ[ 0 ;a11],+-xx En déduire queI1=2 ln 2-1.
Montrer grâce au changement de variablex=auqueIa=I1.
 On noteXune vh. aariable aléatoire réelle admettant une densité égale àa On noteH de rla f    a de la variableonction épartitionXa.  (b)
Calculer l'espéranceE(a+Xa) . En déduire l'espéranceE(Xa) .
ïíìsixÎ[ 0 ;a] ,h(x)=212nl-1f(x) a a  x a h x ïîsiÏ[ 0 ; ] ,a( )=0
Montrer queha est une densité de probabilité.
Calculer l'espéranceE((a+Xa)2) . En déduireE(Xa2) puis la varianceV(Xa) .
Soit la variable aléatoire à densitéT définie parT=1Xa. a Montrer que pour tout réelt de [ 0 ; 1 ] :P(T£t)=H(at) . a
(c)
 1.
 
(d)
(b)
 
 
(c)
 
 
 
(c)
En déduire queTsuit la même loi queX1.
= a +1b . +x
Montrer quefaréalise une bijection de [ 0 ;a 1] sur [ 0 ;a] . On notefa-1sa bijection réciproque. Donner le tableau des-récisant variations defa1 lesen p valeurs aux bornes.
Montrer quefa-1=f1. a
(a)
(b)
EXERCICE 1
On pose poura réel strictement positif la fonctionfa définie sur [ 0 ;a :] par  Pour toutxÎ[ 0 ;a] ,fa(x)=a(aa-+xx) .
Justifier la dérivabilité defa 0 ;sur [a calculer sa dérivée.] et
En déduire le tableau des variations defaen précisant les valeurs aux bornes.
(a)
 
2.
  
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