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Epreuve ESC 2005, option scientifique
EXERCICE 1   a c b   Pourtouttripletdere´els(a, b, c) on poseMa,b,c=c a+b c. b c a 1)(sdtree´leJrqetiusotruopeuelpirttua, b, c) la matriceMa,b,cest diagonalisable.   3 2)On poseE=Ma,b,c,(a, b, c)R. Montrer queEest unRisne.nounraasebtleeimadleirotcevecapse-nemieretd´onntdo 3 3)On poseC=M0,0,1ethl’endomorphisme deRde matriceCdans la base canonique de 3 R. 2 3 a)CalculerCetCrenuoDnnˆnmoopyldrueennae.taluC. b)elirvaesndEdu´eedserppacesprossous-esrpseteelelrupsorh. 3 c)Donner une base deRm´orfourresprppouesrevtceeedh´retehpo,neotromeproourludti 3 scalaire canonique deR. 3 4)On poseB=M0,1,0etgl’endomorphisme deRde matriceBdans la base canonique de 3 R. a)Montrer quegethcommutent. b)Montrer que tout vecteur propre dehest un vecteur propre deg. c)deiueruqenE´dgethseualsvlereopprrssnadmenuasilselbdoeternnmeˆesebatdiagonason deg. 5)a)ExprimerMa,b,cen fonction deI,B,Cselrse´teeda,betc. b)ee-pscaserppoerdspropresetlessousiudeelerlavssrued´EnMa,b,c 6)Soitcnue.x´leer´ 3 3 Onconside`relapplicationΦc:R×RRtelel´es(etplersduotrirtsuqeluopex, y, z) et 0 0 0 (zx ,y ,) :    0 x x   0 0 0t00 0    Φc(x, y, z),(zy ,x ,) =XM2,1,cX`ouX=yetX=y 0 z z √ √ On poseu1= (1,0,1), u2= (1,2,1), u3= (1,2,1). 3 a)Montrer que Φcteiruqdeermfonetues´myseriae´nilibeR. b)Calculer les 6 valeurs Φc(ui, uj) pour 16i6j63. h i   3 3 c)ΦEtablir :c(u2, u2)>0 et Φc(u3, u3)>0⇐⇒c∈ −;. 2 2 3 d)ssrdeel´eete´Dlerinrmlembseenctels que Φcessirpnudne´lairesuroduitscaR.