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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautoris´ee.
Danstoutleproble`melespe´rancedunevariableale´atoireYsreanot´eeE(Yemoˆcedspselnylomeroep`ebl).Tous sont`acoecientsre´els. Pour tout entier naturelk, on noteEkapeclseroeievtcrgeduae´sulpesldlypoomnˆdeesk. A tout entier natureln nonnulet`atoutesuite(s0,s1, . . . ,s2n) de 2nsΦtionlicaasppeielsscoo,anlseer´+1netSndeermale`inane´dsei suivante : n n P P i j pourtoute´le´ment(A,B) deEn×EnavecA=aiXetB=bjX, on pose i=0j=0 n n X XX Φn(A,B) =aibjsi+j=aibjsi+j i=0j=0 0i,jn 2n2n P P i et,pourtoutpolynoˆmeCe´´letdenemE2n, avecC=ciX, on poseSn(C) =cisi. i=0i=0 1. (a)V´erierque,pourtoutentiernatureln, Φnroemnufe´naeibilym´eiresuesutriqrsteEn×En. (b)Ve´rierque,pourtoutentiernatureln,Snilemae´nnutsrofeeiresurE2nmene(tottue´´let,pourA,B) i deEn×EnΦ:e´tilage´lrveoupr,n(A,B) =Sn(ABre´delreosacu`noisapcrecarmmneonco)(A=Xet j B=Xavec 0i,jn.) 2. Deuxcas particuliers (a) Danscette sous-question on suppose quen= 1 ets0= 1,s1ets2´teqmueete´tealnqruteousl.cPoonu´tn 2 (a,b) deR´eitaleg´rlee´irv 2 22 Φ (aX+b, aX+b) = (b+as) +a( ) 1 1s2s1 Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsusante,portantsurlesr´eelss1ets2, pour que l’application Φ1soit un produit scalaire surE1×E1.
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