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Escp eap 1999 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 1999 classe prepa hec (ecs)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLEDES HAUTESETUDESCOMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLESUPERIEURE DECOMMERCE DELYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document: l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Dans tout le probl`eme l’esp´erance d’une variable al´eatoire Y sera not´ee E(Y). Tous les polynˆomes de ce probl`emesont `a coefficients r´eels.Pour tout entier naturelk, on noteE l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e au plusk. A tout entier naturelnknon nul et `a toute suite (s ,s ,...,s ) de 2n+1 r´eels, on associe les applications Φ et S d´efinies de la mani`ere0 1 2n n nsuivante:n nP Pi jpour tout ´el´ement (A,B) de E ×E avec A = a X et B = b X , on posen n i ji=0 j=0n nXX XΦ (A,B) = a b s = a b sn i j i+j i j i+ji=0 j=0 0≤i,j≤n2n 2nP Piet, pour tout polynˆome C ´el´ement de E , avec C = c X , on pose S (C) = c s .2n i n i ii=0 i=01.(a) V´erifier que, pour tout entier naturel n, Φ est une forme bilin´eaire ...
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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFIQUE MATHEMATIQUES I
Lapre´sentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautoris´ee.
Danstoutleproble`melespe´rancedunevariableale´atoireYsreanot´eeE(Yemoˆcedspselnylomeroep`ebl).Tous sont`acoecientsre´els. Pour tout entier naturelk, on noteEkapeclseroeievtcrgeduae´sulpesldlypoomnˆdeesk. A tout entier natureln nonnulet`atoutesuite(s0,s1, . . . ,s2n) de 2nsΦtionlicaasppeielsscoo,anlseer´+1netSndeermale`inane´dsei suivante : n n P P i j pourtoute´le´ment(A,B) deEn×EnavecA=aiXetB=bjX, on pose i=0j=0 n n X XX Φn(A,B) =aibjsi+j=aibjsi+j i=0j=0 0i,jn 2n2n P P i et,pourtoutpolynoˆmeCe´´letdenemE2n, avecC=ciX, on poseSn(C) =cisi. i=0i=0 1. (a)V´erierque,pourtoutentiernatureln, Φnroemnufe´naeibilym´eiresuesutriqrsteEn×En. (b)Ve´rierque,pourtoutentiernatureln,Snilemae´nnutsrofeeiresurE2nmene(tottue´´let,pourA,B) i deEn×EnΦ:e´tilage´lrveoupr,n(A,B) =Sn(ABre´delreosacu`noisapcrecarmmneonco)(A=Xet j B=Xavec 0i,jn.) 2. Deuxcas particuliers (a) Danscette sous-question on suppose quen= 1 ets0= 1,s1ets2´teqmueete´tealnqruteousl.cPoonu´tn 2 (a,b) deR´eitaleg´rlee´irv 2 22 Φ (aX+b, aX+b) = (b+as) +a( ) 1 1s2s1 Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsusante,portantsurlesr´eelss1ets2, pour que l’application Φ1soit un produit scalaire surE1×E1.
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