CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLEDES HAUTESETUDESCOMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLESUPERIEURE DECOMMERCE DELYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document: l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Dans tout le probl`eme l’esp´erance d’une variable al´eatoire Y sera not´ee E(Y). Tous les polynˆomes de ce probl`emesont `a coefficients r´eels.Pour tout entier naturelk, on noteE l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e au plusk. A tout entier naturelnknon nul et `a toute suite (s ,s ,...,s ) de 2n+1 r´eels, on associe les applications Φ et S d´efinies de la mani`ere0 1 2n n nsuivante:n nP Pi jpour tout ´el´ement (A,B) de E ×E avec A = a X et B = b X , on posen n i ji=0 j=0n nXX XΦ (A,B) = a b s = a b sn i j i+j i j i+ji=0 j=0 0≤i,j≤n2n 2nP Piet, pour tout polynˆome C ´el´ement de E , avec C = c X , on pose S (C) = c s .2n i n i ii=0 i=01.(a) V´erifier que, pour tout entier naturel n, Φ est une forme bilin´eaire ...
Danstoutleproble`mel’espe´ranced’unevariableale´atoireYsreanot´eeE(Yemoˆcedspselnylomeroep`ebl).Tous sont`acoefficientsre´els. Pour tout entier naturelk, on noteEkapec’lseroeievtcrgeduae´sulpesldlypoomnˆdeesk. A tout entier natureln nonnulet`atoutesuite(s0,s1, . . . ,s2n) de 2nsΦtionlicaasppeielsscoo,anlseer´+1netSndeermale`inanfie´dsei suivante : n n P P i j pourtoute´le´ment(A,B) deEn×EnavecA=aiXetB=bjX, on pose i=0j=0 n n X XX Φn(A,B) =aibjsi+j=aibjsi+j i=0j=0 0≤i,j≤n 2n2n P P i et,pourtoutpolynoˆmeCe´´letdenemE2n, avecC=ciX, on poseSn(C) =cisi. i=0i=0 1. (a)V´erifierque,pourtoutentiernatureln, Φnroemnufe´naeibilym´eiresuesutriqrsteEn×En. (b)Ve´rifierque,pourtoutentiernatureln,Snilemae´nnutsrofeeiresurE2nmene(tottue´´let,pourA,B) i deEn×EnΦ:e´tilage´’lrveoupr,n(A,B) =Sn(ABre´delreosacu`noisapcrecarmmneonco)(A=Xet j B=Xavec 0≤i,j≤n.) 2. Deuxcas particuliers (a) Danscette sous-question on suppose quen= 1 ets0= 1,s1ets2´teqmueete´tealnqruteousl.cPoonu´tn 2 (a,b) deR´eitaleg’´rlfiee´irv 2 22 Φ (aX+b, aX+b) = (b+as) +a( ) 1 1s2−s1 Ende´duireuneconditionn´ecessaireetsuffisante,portantsurlesr´eelss1ets2, pour que l’application Φ1soit un produit scalaire surE1×E1.