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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE I 0 1 1 2@ A Dans tout lexercice,désigne un paramètre réel.On considère la matriceA=1et on 22+ 1 3 3: notelendomorphisme deRreprésenté parAdans la base canonique deR 1. (a)Montrer que, quel que soit, lendomorphismeadmet la valeur propre1. (b) OnnoteE1()le sous-espace propre deassocié à la valeur propre1. Déterminer, suivant les valeurs de a, une base deE1(). 3 2. Onconsidère les vecteursf1= (1;1;1)etf2= (1;1;2)et on noteF1le sous-espace deRengendré par f1etf2. (a) Montrerque(fl; f2)est une base deFl. (b) Montrerque limage parde tout vecteur deF1appartient àF1. ^ endomorphisme deFinduit p (c) Soitl1ar, cest-à-dire vériant,.pour tout vecteurVdeF1, ^ (V) =(V)   ^ er la matre)deF1. Donn iceddans la base(fl; f2 3. Montrerque, pour tout réel, lendomorphismeadmet la valeur propre1et quon peut trouver un 3 vecteurf3deRne dépendant pas de, qui soit, pour tout réel, vecteur propre deassocié à la valeur propre1. 3 e dean (a) Montrerque(fl;f2; f3)est une base deR. Donnerla matriccette base.d s (b) Pourquelles valeurs du paramètrelendomorphismeest-il diagonalisable ?
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