Escp eap 2000 mathematiques ii classe prepa hec (ecs) mathematiques ii 2000 classe prepa hec (ecs)

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE I 0 11 2 @ A 1 Dans tout l exercice, dØsigne un paramŁtre rØel. On considŁre la matrice A = et on2 2 +13 3:note l endomorphisme de R reprØsentØ par A dans la base canonique deR1. (a) Montrer que, quel que soit , el ndomorphisme admet la valeur propre 1.(b) On note E () le sous-espace propre de associØ à la valeur propre 1.1 DØterminer, suivant les valeurs de a, une base de E ().132. On considŁre les vecteurs f = (1;1; 1) et f = (1;1; 2) et on note F le sous-espace deR engendrØ par1 2 1f et f .1 2(a) Montrer que (f;f ) est une base de F .l 2 l(b) Montrer que l image par de tout vecteur de F appartient à F .1 1^(c) Soit l endomorphisme de F induit par , c est- -dire vØri ant, ...