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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2002
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On appelledurée de viedun composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusquà sa première panne éventuelle.On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoireTdénie sur un espcae probabilisé(;B; P);à valeurs dansR+: SiFest la fonction de répartition de cette variable aléatoire, on appelleloi de surviedu composant la fonctionD dénie surR+par : 8t2R+; D(t) = 1F(t): Le problème se compose de deux parties pouvant être traitées indépendamment.
Partie 1 :Cas discret
On suppose dans cette partie queTest une variable aléatoire à valeurs dansNqui vérie, pour tout entier natureln; D(n)6= 0:
A. Coe¢ cient davarie
Le composant est mis en service à linstantt= 0:Pour tout entier naturelnnon nul, on appellecoe¢ cient davarieà linstantndu composant, la probabilité quil tombe en panne à linstantn;sachant quil fonctionne encore à linstantn1;cest-à-dire le nombrendéni par légalité :
n=P([T=n]=[T >n1]):
1. Exprimer,pour tout entier naturel non nuln;la probabilitéP([T=n])à laide de la fonctionD: En déduire légalité : D(n1)D(n) n=: D(n1)
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