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ESCP 2004, math 1, option scientifique
On noteEl’ensemble des fonctionsfdeRdansRpesquourliselleelueenixts´eeritsuleel s= (sn)nNe´`ead,tpadaetif, telle que : n1 X k nN,xR, f(x=+ )snf(nx) (1) n k=0 L’ensemble des fonctions deRdansR´etnotesF(R,R). Lespolynoˆmesconsid´ere´ssont`acoecientsr´eels,ettoutpolynoˆmePsera confondu avec la fonctionpolynomiale,´el´ementdeF(R,R)eiuliuq,´ieessco.turestnaentallem Pour tout entier naturelpnon nul, et toute fonctionpsi´dreviableoff, deRdansRe,el´vire´da (p)0 pnioctonafeledme`i-fese´enttof`eredreemi´eeperival´d(fstaueeot´essinf). On rappelle que,Tta´eeer´unnt,lunnonltcnofenuionfdeRdansRest diteTp-e´irdoqieu lorsque : xR, f(x+T) =f(x) Lobjetduproble`meestded´eterminercertainesdesfonctionsf)1.uqtaoi(n´elntsaaisftisa
PartieI:R´esultatsg´ene´rauxetexemplesd´el´ementsdeE
1)Soitftrappanoa`tnaneutincfoneE, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une uniquesuites= (sn)nNadapt´ee`af, et ques1= 1. 0 2)Montrer que sifana`ttrnepaapleabiverd´ontincofenutseE´eeerivlad´lorsa,fdef appartienta`E. 3)rtiennentn`taesappasnocsnatfsnotcoirqreleuentMoE. 1 ´ 4)SoitAla fonction deRdansRuqai`xassociex. Etablir queAdementel´e´tseE. 2 5) Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielF(R,R) ? 6)Soitχla fonction deRdansR:´dinerape 1 sixZ xR, χ(x) = 0 six6∈Z Pour tout entier naturel non nulnttelee´rtuoxstlancaesstdiguineretd´,enr,neminxZ n1 X k etnx6∈Z, la valeur de la sommeχ(x+ ). n k=0 End´eduirequeχarppaa`tneitEetiusal,.1ela`e´agtn,esnatntco´etat´eeadap n1 Xk 2ipπ(x+ ) n 7)a)leeoPotru´rtuxet tous entiers naturels non nulspetnedd´e,ncaetlculerreuie, k=0 que : n1 n X   k ncos(2pπx) sipest multiple den cos 2(x=+ ) n0 sinon k=0 b)Soitula fonction deRdansRa`iuqxassocie cos(2πx). Montrer queueitna`paaptrE, et pr´eciserlasuiteadapte´ea`u. 1 q+1 c)ireuJtstruop,uoeltr´exledecnegdeire´sag´meeretlra´eenoc(s2,nverlacoπx). q 2 +X 1 q+1 Soit alorsvla fonction deRdansRuqa`ixassocie cos(2πx). Montrer quev q 2 q=0 appartient`aEe´`eadtptiaealusiserr´ec,etpav.