Escp eap 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs) mathematiques i 2004 classe prepa hec (ecs)

ESCP 2004, math 1, option scientifiqueOn note E l’ensemble des fonctions f de R dans R pour lesquelles il existe une suite r´eelle∗s = (s ) , dite adapt´ee a` f, telle que :n n∈Nn−1X k∗∀n∈N , ∀x∈R, f(x+ ) =s f(nx) (1)nnk=0L’ensemble des fonctions deR dansR est not´e F(R,R).Les polynˆomes consid´er´es sont a` coefficients r´eels, et tout polynˆome P sera confondu avec lafonction polynomiale, ´el´ement de F(R,R), qui lui est naturellement associ´ee.Pour tout entier naturel p non nul, et toute fonction p fois d´erivable f, de R dans R, la d´eriv´ee(p) 0p-i`eme de la fonction f est not´ee f (la d´eriv´ee premi`ere de f est aussi not´ee f ).On rappelle que, T ´etant un r´eel non nul, une fonction f de R dans R est dite T-p´eriodiquelorsque :∀x∈R, f(x+T) =f(x)L’objet du probl`eme est de d´eterminer certaines des fonctions f satisfaisant l’´equation (1).Partie I : R´esultats g´en´eraux et exemples d’´el´ements de E1) Soit f une fonction appartenant `a E, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une∗unique suite s = (s ) adapt´ee `a f, et que s = 1.n n∈N 102) Montrer que si f est une fonction d´erivable appartenant `a E, alors la d´eriv´ee f de fappartient a` E.3) Montrer que les fonctions constantes appartiennent a` E.1´4) Soit A la fonction deR dansR qui a` x associe x− . Etablir que A est ´el´ement de E.25) E constitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel F(R,R)?6) Soit χ la fonction deR dansR d´efinie par :1 si x∈Z∀x∈R, χ(x) ...