Escp eap 2004 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2004 classe prepa hec (ecs)

Description

ESCP 2004 math III. Durée 4 heures EXERCICE 6On désigne par E l’espace vectoriel R et par B sa base canonique : B = (e ; e ; e ; e ; e ; e ) . 1 2 3 4 5 6On pose B = (e ; e ; e ) et B = (e ; e ; e ) et on désigne respectivement par E et E les 1 1 2 3 2 4 5 6 1 2sous-espaces vectoriels de E engendrés par B et B . 1 2 021Enfin, A est la matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels suivante : 201 −22 −1 1. Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A . 1 1Déterminer les valeurs propres de u ainsi qu’une base de vecteurs propres. 2. Soit f l’application linéaire de E vers E définie par : f (e ) = e , f (e ) = e et f (e ) = e . 1 2 1 4 2 5 3 6−1Montrer que f est un isomorphisme et déterminer la matrice de son isomorphisme réciproque f relativement aux bases B et B . 2 13. a) Montrer que, si (x ; x ) est un élément de E × E vérifiant l’égalité x + x = 0 , les vecteurs x 1 2 1 2 1 2 1et x sont nuls. 2b) En déduire que, si (x ; x ) et (y ; y ) sont deux éléments de E × E vérifiant l’égalité 1 2 1 2 1 2x + x = y + y , alors on a : x = y et x = y . 1 2 1 2 1 1 2 2 4. Pour tout vecteur x de E dont les coordonnées dans la base B sont ( λ ; λ ; λ ; λ ; λ ; λ ), on 1 2 3 4 5 6pose : − 1x = λ e + λ e + λ e , x = λ e + λ e + λ e et F(x) = u(x ) + f (x ) + f (x ) 1 1 1 2 2 3 3 2 4 4 5 5 6 6 1 1 2a) Prouver que l’application F qui à ...

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Extrait

ESCP 2004

math III

. Durée 4 heures

EXERCICE

On désigne par

E

l’espace vectoriel

R

6

et par

B

sa base canonique :

B

= (

e

1

;

e

2

;

e

3

;

e

4

;

e

5

;

e

6

) .

On pose

B

1

= (

e

1

;

e

2

;

e

3

) et

B

2

= (

e

4

;

e

5

;

e

6

) et on désigne respectivement par

E

1

et

E

2

les

sous-espaces vectoriels de

E

engendrés par

B

1

et

B

2

.

Enfin,

A

est la matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels suivante :

0

2

1

2

0

1

2

2

1

















−

−





1.

Soit

u

l’endomorphisme de

E

1

dont la matrice dans la base

B

1

est

A

.

Déterminer les valeurs propres de

u

ainsi qu’une base de vecteurs propres.

2.

Soit

f

l’application linéaire de

E

1

vers

E

2

définie par :

f

(

e

1

) =

e

4

,

f

(

e

2

) =

e

5

et

f

(

e

3

) =

e

6

.

Montrer que

f

est un isomorphisme et déterminer la matrice de son isomorphisme réciproque

f

−1

relativement aux bases

B

2

et

B

1

.

3.

a) Montrer que, si (

x

1

;

x

2

) est un élément de

E

1

×

E

2

vérifiant l’égalité

x

1

+

x

2

= 0 , les vecteurs

x

1

et

x

2

sont nuls.

b) En déduire que, si (

x

1

;

x

2

) et (

y

1

;

y

2

) sont deux éléments de

E

1

×

E

2

vérifiant l’égalité

x

1

+

x

2

=

y

1

+

y

2

, alors on a :

x

1

=

y

1

et

x

2

=

y

2

.

4.

Pour tout vecteur

x

de

E

dont les coordonnées dans la base

B

sont (

λ

1

;

λ

2

;

λ

3

;

λ

4

;

λ

5

;

λ

6

), on

pose :

x

1

=

λ

1

e

1

+

λ

2

e

2

+

λ

3

e

3

,

x

2

=

λ

4

e

4

+

λ

5

e

5

+

λ

6

e

6

et

F

(

x

) =

u

(

x

1

) +

f

(

x

1

) +

f

−

1

(

x

2

)

a) Prouver que l’application

F

qui à tout vecteur

x

de

E

associe le vecteur

F

(

x

) , est un

endomorphisme de

E

.

b) Déterminer le noyau de

F

et en déduire que

F

est un automorphisme.

c) Montrer que la matrice

M

de

F

dans la base

B

peut s’écrire sous la forme :

M

=

0

2

1

1

0

0

2

0

1

0

1

0

2

2

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

















−

−

























5.

On suppose, dans cette question, que μ est une valeur propre de

F

et que

x

est un vecteur propre

associée à μ ; on définit les vecteurs

x

1

de

E

1

et

x

2

de

E

2

comme dans la question précédente.

a) Justifier que la valeur propre μ n’est pas nulle.

b) Utiliser les résultats de la question

3.

pour prouver que les vecteurs

x

1

et

x

2

sont tous les deux

non nuls et que

x

1

est un vecteur propre de

u

associé à la valeur propre μ − 1/μ ·

6.

Étudier la fonction

ϕ

définie sur

R

*

par

ϕ

(

x

) =

x

− 1 /

x

et en donner une représentation graphique.

7.

On suppose, dans cette question, que

λ

est une valeur propre de

u

et que

x

1

est un vecteur propre de

u

associée à

λ

.

a) Montrer que l’équation d’inconnue μ suivante :

λ

= μ − 1/μ admet deux solutions distinctes μ

1

et μ

2

.