Escp eap 2004 mathematiques iii classe prepa hec (ecs) mathematiques iii 2004 classe prepa hec (ecs)

ESCP 2004 math III. Durée 4 heures EXERCICE 6On désigne par E l’espace vectoriel R et par B sa base canonique : B = (e ; e ; e ; e ; e ; e ) . 1 2 3 4 5 6On pose B = (e ; e ; e ) et B = (e ; e ; e ) et on désigne respectivement par E et E les 1 1 2 3 2 4 5 6 1 2sous-espaces vectoriels de E engendrés par B et B . 1 2 021Enfin, A est la matrice carrée d’ordre 3 à coefficients réels suivante : 201 −22 −1 1. Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A . 1 1Déterminer les valeurs propres de u ainsi qu’une base de vecteurs propres. 2. Soit f l’application linéaire de E vers E définie par : f (e ) = e , f (e ) = e et f (e ) = e . 1 2 1 4 2 5 3 6−1Montrer que f est un isomorphisme et déterminer la matrice de son isomorphisme réciproque f relativement aux bases B et B . 2 13. a) Montrer que, si (x ; x ) est un élément de E × E vérifiant l’égalité x + x = 0 , les vecteurs x 1 2 1 2 1 2 1et x sont nuls. 2b) En déduire que, si (x ; x ) et (y ; y ) sont deux éléments de E × E vérifiant l’égalité 1 2 1 2 1 2x + x = y + y , alors on a : x = y et x = y . 1 2 1 2 1 1 2 2 4. Pour tout vecteur x de E dont les coordonnées dans la base B sont ( λ ; λ ; λ ; λ ; λ ; λ ), on 1 2 3 4 5 6pose : − 1x = λ e + λ e + λ e , x = λ e + λ e + λ e et F(x) = u(x ) + f (x ) + f (x ) 1 1 1 2 2 3 3 2 4 4 5 5 6 6 1 1 2a) Prouver que l’application F qui à ...