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ESG 2004 Option technologique
EXERCICE 1 :Puissances dune matrice (3,5 points) 0 10 10 1 1 1 11 0 00 1 1 @ A@ A@ A On considère les matricesA= 01 1; I1 0= 0; J0 1= 0: 0 0 10 0 10 0 0 n Le but de lexercice est de calculer les puissancesAdeAnest un entier supérieur ou égal à 1. 2 3k1. CalculerJ,J; en déduireJpour tout entierkdeN. 2. Déterminerdeux nombres réelsxetytels queA=xI+yJ: n 3. Donner,à laide de la formule du binôme de Newton, le développement de(I+J). n(n1) n2n 4. Endéduire queA=I+nJ+Jet exprimerAsous forme de tableau de nombres, pournentier 2 supérieur ou égal à 1. 5. Pourquoila matriceAest-elle inversible ?calculer son inverse à laide de la méthode du pivot de Gauss. Lexpression obtenue à la question 4) pour n entier supérieur ou égal à 1 peut-elle sétendre au cas oùn=1 ?
EXERCICE 2 :Etude de fonction(6,5 points) 1 2 Soitfla fonction dénie sur]0; +1[par :f(x) =x+x6 lnx. 2 1. Etudierles limites defen0et en+1et préciser la ou les branches innies. 2. Montrerque la dérivée defsur]0; +1[est du signe de(x2)(x+ 3). Endéduire le tableau des variations defsur]0; +1[ 3. Donnerune équation de la tangente T à la courbe C représentative defau point dabscisse 1. 4. TracerT et lallure de C dans un repère orthonormé (1 unité = 2 cm).On donneln 2'0;7etln 3'1;1. Montrer que léquationf(x) = 0admet une et une seule solution sur lintervalle]0; 2[, quon appellera. Positionnersur le graphique de la question d) et on donner une valeur approchée. 5. Montrerque la fonction g dénie sur]0; +1[parg(x) =xlnxxest une primitive de la fonctionx7!lnx sur]0; +1[. R 6. CalculerI=f(x)dxen fonction deet interpréter géométriquement cette intégrale, à laide du tracé de 1 la question d).
EXERCICE 3 :Probabilités (10 points)
On dispose de deux urnes contenant des boules indiscernables au toucher : lurne A contient 2 boules rouges et 3 boutes blanches, lurne B contient 2 boules rouges et 2 boules blanches. Les parties A, B et C sont indépendantes.
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