Esg 2004 mathematiques classe prepa hec (ect) mathematiques 2004 classe prepa hec (ect)

ESG 2004 Option technologiqueEXERCICE 1 : Puissances d’une matrice (3,5 points)0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 1 1@ A @ A @ AOn considŁre les matrices A = 0 1 1 ; I = 0 1 0 ; J = 0 0 1 :0 0 1 0 0 1 0 0 0nLe but de l exercice est de calculer les puissances A de A oø n est un entier supØrieur ou Øgal à 1.2 3 k 1. Calculer J , J ; en dØduire J pour tout entier k deN .2. DØterminer deux nombres rØels x et y tels que A = xI +yJ:n3. Donner, à l aide de la formule du bin me de Newton, le dØveloppement de (I +J) .n(n 1)n 2 n4. En dØduire que A = I +nJ + J et exprimer A sous forme de tableau de nombres, pour n entier2supØrieur ou Øgal à 1.5. Pourquoi la matrice A est-elle inversible ? calculer son inverse à l’aide de la mØthode du pivot de Gauss.L expressionobtenueàlaquestion4)pournentiersupØrieurouØgalà1peut-elles Øtendreaucasoø n = 1?EXERCICE 2 : Etude de fonction(6,5 points)12Soit f la fonction dØ…nie sur ]0;+1[ par : f(x) = x +x 6lnx.21. Etudier les limites de f en 0 et en +1 et prØciser la ou les branches in…nies.2. Montrer que la dØrivØe de f sur ]0;+1[ est du signe de (x 2)(x+3). En dØduire le tableau des variationsde f sur ]0;+1[3. Donner une Øquation de la tangente T à la courbe C reprØsentative de f au point d abscisse 1.4. Tracer T et l allure de C dans un repŁre orthonormØ (1 unitØ = 2 cm). On donne ln2’ 0;7 et ln3’ 1;1.Montrer que l Øquation f(x) = 0 admet une et une seule solution sur l’intervalle ]0;2[, qu on appellera .Positionner sur le ...